Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
поправки к энергии, с которой мы столкнулись в разделе 6. 7 ***.
Запишем выражение для р? в окрестности ядра в виде
, рЦх) = 2М*р+^,
где б - расстояние до ближайшего ядра; потенциал остальных ядер и
электронов опущен. Граничная энергия ъР равна с доста-
* Фактически в этих работах использовался несколько иной метод, полностью
эквивалентный изложенному здесь.
** Зависимость квази классического давления от Z дается соотношением Р =
= (q/Z2); зависимость квантовой и обменной поправок от Z - соотноше-
нием 6Р = Z*-/a ф (q/z2).
*** В рассматриваемой области энергия является неаналитической функцией
параметра что и препятствует ее разложению в ряд по |.
66
точной точностью (Зл2ё)2/з/2М. Сравнивая оба выписанных
члена /?о, мы видим, что не затронутая внешним давлением область атома,
где второй член преобладает, отвечает расстояниям
С другой стороны, нетрудно найти размеры области атома, где существенны
квантовые поправки всех порядков, т. е. ? > 1.
Таким образом, в этой области существенный вклад в давление вносит
внутренняя часть атома, где нельзя ограничиться рассмотрением только
квантовых поправок низшего порядка. Это обстоятельство делает невозможным
использование развитого выше метода исследования квантовых эффектов.
Существует тем не менее простой способ определения квантовых поправок в
области III, основанный на том, что в этой области взаимодействие
электронов друг с другом и с ядрами мало по сравнению с их кинетической
энергией. Это условие выполнено в области III даже в применении к
наиболее сильно связанным внутренним электронам атомов.
Поэтому можно воспользоваться теорией возмущений, рассматривая Е - Ek в
выражении (6. 3) как малую поправку. Имея в виду расчеты с точностью до
(п0Ро)-1. ограничимся низшим порядком теории возмущений. С этой целью
заменим в выражении (6. 3) обкладки Ч1- на - волновую функцию идеального
газа электронов. Повторяя выкладки, аналогичные проделанным в § 4,
получаем
Переходя к давлению, находим, что с точностью до (а0р0)~г оно слагается
из выражений (6. 7) и (6. 13). Член, отвечающий квантовой поправке, в
рассматриваемом приближении вообще отсутствует
Исходя из определения h, = -
1_ dp20(x)
о? ' dx
, находим радиус этой
Непосредственно видно, что в области III
б2Р = О,
(6. 16)
67
Таким образом, полная (квантовая и обменная) поправка К давлению
составляет в областях I и II 11/9б1Р и в области III бгР. Последняя
величина определяется соотношением (6. 15).
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ АТОМНОГО ЯДРА
7. 1. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые приложения развитых
выше методов к теории многонуклонных систем - атомного ядра и нейтронной
материи. В отличие от сильносжатого вещества приближением Хартри - Фока в
данном случае ограничиться нельзя, поэтому полученные здесь результаты
будут использованы в последующих главах в качестве нулевого приближения.
Однако некоторые характеристики многонуклонных систем можно вычислять и в
рамках приближения Хартри - Фока.
В качестве потенциала взаимодействия между нуклонами будем использовать
выражение (1. 11). При этом в тех случаях, когда граничный импульс частиц
р0 удовлетворяет условию
р0с <1 1, (7. 1)
одновременно выполняется и условие (1. 12); это позволяет заменить
потенциал Е(С) в выражении (1. 11) псевдопотенциалом.
Функция распределения многонуклонной системы / (х, р) является матрицей
относительно изотопических координат, что связано с асимметрией системы в
отношении протонов и нейтронов. Ее всегда можно представить в виде
/ [х, р) = /<р) (х, p)g(p) + /(") (х, р) ?("), (7. 2)
где ?(Р ") - матрицы, выделяющие протонное и нейтронное состояния (см.
раздел 1. 3); /(р> п) (х, р) -функции распределения соответствующих
частиц.
Подставляя это выражение в соотношения (4. 30') и (4. 33) и используя
соотношение (1. 11) (без кулоновского члена), можно без труда получить
следующее выражение для гамильтониана частицы:
т + w = Т + Wlp) Е(р) 4- Ww Б("), (7.3)
где
W = В - А,
В(р) = ^ j" dx'd3p' + -4- V(a)^ f(p) 4-
+ (v<.c) 4- ~2~ У (a)) /(") I"
B(n) =2 j dx dsp' 4 2~ V(a)) f(p) 4-
4- (^(c) -+--4- V(a)) /(n)|
68
А(Р) - | dSp |(v(c) гг v(a)J f(p) v(a)/(")| > AW = j dSp'{-'V(a)/(p)+
(v(e)----------v(a)) /(")}.
(7. 5)
В соотношениях (7. 4) аргументом потенциалов является раз--> ->
ность х - х', аргументами функций распределения-х', р'\ в соотношениях
(7. 5) v - фурье-образ соответствующего потен-
циала как функция р'\ аргументами функций распределения -> -> -> являются
х, р' + р.
Само выражение для функций распределения можно получить с помощью общей
формулы (4. 18) *
hi) U> р) = <Q(o)^> С7-6)
где q{0 = 0 (e^-j - Т - W(.}) и - энергия Ферми протонного и нейтронного
распределений, которые можно найти из соответствующих условий нормировки.
Энергию системы можно определить с помощью соотношений, приведенных в
разделе 4. 9. Вводя плотность кинетической энергии протонов и нейтронов
Skd) = 2 [ d3pfa) (х, р] р*!2М,
получим соотношения, аналогичные (4. 38) (внешнее поле U считается
