Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
В модели ячеек не составляет труда вычислить величины Q и 0. Радиус
нейтральной ячейки R определяется из условия 4jt^3Q/3 = = Z; в
безразмерных единицах ему отвечает величина ^ Несложные вычисления дают
Q (Й = -?¦ [з - (Ф- )VY + 2 (ХХ] • (6- 8)
где у - расстояние от центра ячейки. Константа 0 имеет величину, равную
"-ФХ-Г- <6-9)
Расчеты с более реалистическими моделями, справедливые в области
сравнительно малых давлений, были проведены в ряде работ [59, 60].
В принятой нами модели нет возможности описать разного рода фазовые
переходы, наблюдающиеся при сжатии вещества.
63
Приведенные результаты относились к областям II и III. Для вывода
уравнения состояния вещества в области I приходится проводить численное
интегрирование уравнения Томаса - Ферми. В модели ячеек это уравнение
имеет вид
с граничными условиями хр\ (х)
2 Z
dpi (х)
бх
0.
Такие вычисления были проведены Леттером [61 ]. Соответствующие
результаты для железа приведены на рис. I (кривая /).
6. 7. Переходим к вычислению обменных и квантовых поправок к давлению,
знание которых дает возможность выявить
пределы применимости ква-зиклассического уравнения состояния вещества *.
Начнем с вычисления квантовой поправки. Используя тождество
4
Ро
А р?
о
и уравнение (5. 13), можно привести соотношение (5. 26) к следующему
виду:
2<§ - ------------
6 4
Т8^гРо + А1
+ Аг, (6. 10)
Рис. 1
где
Ах
Л,
1
72 п*М
V
- Аро-
Подставляя выражение для о = Ze^ б (х- хп), приведем Аг к виду (б Ах =
= I х -Ze2 бяй
,Р о
6->0
де
6я
1
Кб
0(1/6)
* В литературе накоплен обширный численный материал по квазикласси-
ческому уравнению состояния вещества в широкой области давления [61, 62].
Однако значительная часть этих данных обесценивается тем, что в них не
учитываются квантовые эффекты, вклад которых весьма значителен.
64
2 Z
Здесь использован тот факт, что вблизи и-го ядра р2 (х) = -г- ф-
- ^4,0
+ конечные члены. Применяя теорему Гаусса, нетрудно убедиться, что А 2
отличается от А± лишь численным коэффициентом.
Таким образом, квантовая поправка к энергии, имеющая низший порядок по ?,
обращается в бесконечность. Это обстоятельство будет рассматриваться в
разделе 6. 8.
Поскольку эта бесконечность обусловлена лишь областью пространства,
непосредственно прилегающей к ядрам, а эта область при не слишком высоких
давлениях с точки зрения уравнения состояния не играет роли, квантовая
поправка к давлению может оказаться конечной величиной. В том, что это
так, можно убедиться, если заметить, что вклад Л1)2 в давление, равный,
согласно выражению (6. 2), - тожДественно обра-
щается в нуль (qQ = N).
Таким образом, квантовая поправка к давлению может быть записана в виде
= (б-11)
Обменную поправку к давлению нетрудно записать аналогичным образом,
используя выражение (5. 18):
б р <¦- 11
д(Р40а)
1 4я3 сД2
Это приводит нас к выводу о том, что отношение квантовой и обменной
поправок к давлению постоянно и равно 2/9 [63]
<6-12>
Пользуясь этими результатами, нетрудно найти квантовую и обменную
поправки к давлению в области II, подставляя вместо Ро величину
(Зя2р)1/з:
6ip = <6ЛЗ>
б*р=-<6- 14>
Сравнивая эти выражения с соотношением (6. 7), легко увидеть, что они
отличаются от поправки на неоднородность лишним малым фактором Z~2/*.
6. 8. Определение обменной и квантовой поправок к давлению в области
меньших давлений (в области I) удобнее произ-
65
"OuI"0
водить по формуле (6. 4). Используя выражения б^*, = - 4д8уИ и (5. 18),
найдем
<6- ,5>
Квантовую поправку можно определить с помощью соотношения (6. 12).
Соответствующие вычисления были проведены по модели ячеек [63, 64] *.
Результаты приведены на рис. 1, заимствованном из работы [64]. Кривая 1
отвечает квазиклассическому уравнению состояния; 2 - модели Томаса -
Ферми - Дирака, 3 - уравнению с квантовыми и обменными поправками. Кривая
4 построена по результатам эксперимента [65]. Все данные относятся к
железу (Z = 26) **.
Из рисунка видно, что общая тенденция к сближению расчетных и
эмпирических кривых выражена достаточно четко. В частности, отрицательный
вклад обменных и квантовых поправок к давлению находится в прямом
соответствии с опытом.
Вместе с тем полученные до настоящего времени давления еще недостаточно
велики для того, чтобы вещество можно было считать сильносжатым в
указанном в разделе 6. 1 смысле слова. При максимальных давлениях,
достигнутых сейчас, квантовая и обменная поправки оказываются еще порядка
самого давления.
6. 9. Остается найти квантовые и обменные поправки к давлению в
области III, которой отвечает давление Р Д> Z5e2/ao и плотность q >
Zzja\. Обменная поправка в этой области по-прежнему определяется
соотношением (6. 13). Что же касается квантовой поправки, то ее
вычисление требует специального рассмотрения.
В разделе 5. 5 отмечалось, что в окрестности ядер роль квантовых эффектов
становится значительной. В этой области существенны квантовые поправки
всех порядков по параметру отражением чего является бесконечность низшей
