Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
р"
где введено обозначение j dI = Г dqt J d^1. Используя полу-
o
ченное уравнение, имеем окончательно [127, 130]
1
Q = ??" + j' -х {к ldUM(I,ll)G (II, I)-
о
- \dl lim IW [G(I, II) - Go (I, II)]1. (32.12)
n-я p2-p,^+ I
§ 33. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
33. 1. Рассмотрим некоторые вопросы динамической теории плазмы
(полностью ионизованного газа, состоящего из электронов и, для
определенности, протонов). Перевести обычный водород 312
в такое состояние можно различными способами, подвергая его либо сильному
нагреванию, либо сильному сжатию (§ 6). Мы остановимся на случае горячей
плазмы. При этом температура плазмы должна по крайней мере совпадать по
порядку величины с ионизационным потенциалом водорода
kT ~ еУа0. (33. 1)
Ограничиваясь случаем слабого взаимодействия, положим (§ 1)
"1. (33.2)
dkT
Следовательно, мы рассматриваем сжатую систему с кулоновским
взаимодействием. В § 1 уже подчеркивалось, что такая система в обычном
смысле слова является разреженной.
о2/3
Из условий (33. 1) и (33. 2) следует, что параметр ,
представляющий собой отношение граничной энергии электронов к их тепловой
энергии, мал по сравнению с единицей, т. е.
q2/3 / a0kT
MkT \ e2
Это неравенство тем более справедливо для протонного газа. Поэтому
фактически мы имеем дело с системой, подчиняющейся больцмановской
статистике, т. е. числа заполнения уровней следует считать малыми по
сравнению с единицей
nv = ехр [р (р - ev)] < 1, (33. 3}
а химический потенциал р - большйм по абсолютной величине и
отрицательным.
Ввиду однородности и электронейтральности (в целом) плазмы член прямого
самосогласованного взаимодействия в приближении Хартри - Фока полностью
выпадает. Что же касается малого обменного самосогласованного члена, то
его нетрудно получить из соотношения (30. 10), если с учетом выражения
(33. 3) положить
q = ехр [Р (р - р2/2М)].
Отсюда
С = - 4- Sp (Wq) = V [М2е) ехр (2Рр(е)) +
+ М2р)ехр (2Рр(р))]
У, (33. 4)
где р(р, е) - химические потенциалы; М(р> е) - массы; g(p) = = Q(c) -
плотности соответственно протонов и электронов. Здесь принято во внимание
то обстоятельство, что обменные эффекты нужно учитывать в отдельности для
электронного и протонного распределений.
313
Динамическая теория плазмы со слабым кулоновским взаимодействием,
учитывающая корреляционное взаимодействие между частицами, строилась
ранее с помощью метода Дебая -• Хюк-келя [4]. Этот метод включает в себя
процедуру самосогласования, имеющую неясную область применимости. Полевая
теория плазмы развита в работе [131 ]. Физические величины, в частности
термодинамический потенциал, представляются в этой теории в виде
разложений, которые сходятся тем лучше, чем меньше параметр а. При этом
главный член разложений совпадает с выражением, полученным по методу
Дебая - Хюккеля. Таким образом, полевая теория плазмы обосновывает,
уточняет и указывает границы применимости прежних результатов.
33. 2. Вычислим главный член корреляционной части термодинамического
потенциала. Исходным пунктом служит тот факт, что плазма со слабым
взаимодействием между частицами представляет собой сжатую систему.
Поэтому анализ температурных диаграмм термодинамической теории
возмущений, аналогичный в основных чертах анализу, проведенному в § 16,
приводит к тем же результатам: как и во всякой сжатой системе, в плазме
наиболее существенны диаграммы, содержащие максимальное число замкнутых
петель и имеющие единый малый передаваемый импульс. Подлежащие учету
замкнутые диаграммы вакуумных переходов, отвечающие термодинамическому
потенциалу Q (см. § 31), изображены на рис. 67. Такие диаграммы нужно
рассматривать в отдельности для электронов и протонов.
Дальнейшее рассмотрение повторяет выкладки, проведенные в § 25 и 27.
Вводим эффективный потенциал взаимодействия у (I, II), связанный с
истинным кулоновским потенциалом уравнением
где поляризационный оператор П определяется соотношением
Рис. 67
у(1, П) = ^-6(Р,-Р,) + J с/ III d IV -j- х
хд(Р,-Рз)П(Ш, IV) y (IV, П). (33. 5)
314
П (I, II) = Юо (I, И) Gо (II, I).
(33. 6)
Массовый оператор сжатой системы связан с эффективным потенциалом у
простым соотношением (см. § 25).
М
(I, II) = 1 [у (I, II) -^-"(Pi - Pa)J Go (I, П). (33.7)
Подстановка этого соотношения в выражение (32. 12) и учет соотношения
(33. 5) дает следующее выражение для термодинамического потенциала:
Q
1
= И- м|х
ХП(1, II). (33.8)
Переходя в импульсное представление с учетом изложенных в § 31 и 32
правил, получим
I
о
4яе2
] П {k, coj . (33. 9)
Здесь П = П(Р) + П(е) (индекс р относится к протонам, е к электронам).
33. 3. Вычислим поляризационный оператор
П(&, со") = j d3p^G0 {р, en)G0{p+\ еп-\-тп).
Подставляя сюда выражение (31. 27), без труда находим интеграл по
трехмерному импульсу. Что же касается суммирования по частотам,
рассматриваемую сумму удобно свести к контурному
интегралу, вводя функцию tg (-у2-), имеющую полюса в тех
точках, по которым проводится суммирование (рис. 68). Тогда можно
