Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
V
Далее, все интегралы по |3, входящие в выражения для матричных элементов,
можно распространить от -ро до |30, вводя фактор 72. Кроме того,
оказывается, что 6-функция от суммы энергий в каждом узле диаграммы
заменяется на. кронекеровский символ б0, который отличается от нуля лишь
в том случае, если сумма частот, отвечающих сходящимся в этом узле
линиям, равна нулю [14].
В заключение можно сказать, что выражение для матричного элемента S (Р)
получается из аналогичного выражения при Т = О
Г (2и 4- 1) я j
заменой всех частот е на ten гп = -g и переходом от ин-
' Ро J
теграции по частотам к суммированию по п
оо
Г _с/ш __J__ VI
J 2я _v Ро Zj '
- 00 п
Правила вычисления соответствующих сумм изложены в работе
[11 ]. В основе этих правил лежит то соображение, что сумми-
рование по частотам можно заменить вычислением некоторого
контурного интеграла, в который введена функция
имеющая полюса в нужных точках. В этом случае искомая сумма получается,
как сумма вычетов подынтегрального выражения.
§ 32. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ
32. 1. Термодинамическая теория возмущений недостаточна для решения
всех типов задач, с которыми приходится иметь дело в квантовой
статистике.
С одной стороны, развитый выше аппарат способен дать информацию лишь о
чисто термодинамических характеристиках системы- термодинамических
потенциалах, их производных и т.п. Такие интегральные характеристики,
хотя и играют важную роль, далеко не исчерпывают тех сведений о системе,
которыми желательно располагать. Имеются в виду, во-первых,
характеристики локального типа (распределение средних значений
динамических переменных, корреляционные функции, кинетические
коэффициенты и т. п.), во-вторых, характеристики спектра возбуждений
системы.
С другой стороны, даже если ограничиться чисто термодинамическими
характеристиками, учет нескольких первых диаграмм теории возмущений может
оказаться недостаточным. В квантовой
У.у(92) Ху(<7|) ге" + и - е"
(31. 27)
307
статистике может быть проведен такой же анализ относительной роли
диаграмм теории возмущений, какой был выполнен в § 16 для случая нулевой
температуры. При выполнении условия
Ре2/3
м
1,
где g - средняя плотность вещества, указанный анализ сохраняет свою силу.
В случае предельно высоких температур
Во2/3
- > 1 м
в параметре взаимодействия следует сделать замену р0 -> (М/р),/2. Для
пояснения заметим, что кинетическая энергия частицы определяется
наибольшей из величин р'т/М и 1/р.
При отличной от нуля температуре может возникнуть такая ситуация, при
которой требуется эффективное суммирование некоторой бесконечной
последовательности диаграмм теории возмущений.
Для решения поставленных вопросов вводятся температурные и температурно-
временные функции Грина.
32. 2. Температурная функция Грина вводится путем непосредственного
обобщения понятия температурной свертки операторов (точнее, свободной
температурной функции Грина) с учетом корреляционного взаимодействия
частиц
0(MI)--.-S,|?r[^f(">11 . (32.1,
Здесь введены "гейзенберговские по температуре" операторы
фг(1) =ехр (Р, (Н - р/V)] Ф (c/i) ехр [-(// -
эволюция которых при изменении (3 определяется не Н0, как это было для
оператора ф (I), а полным гамильтонианом Н*.
Учитывая определение (31. 9), после несложных выкладок находим
G (1, II) = - t ( Т № (/го/й'-п---*1 >0- • (32. 2)
\ & (Ро/ / О
Здесь S (Ро) - полная 5-матрица, взятая в интервале от 0 до р0 - реальной
обратной температуры системы. Аналогичным образом вводится и парная
функция Грина
G (I II III IV) ( Г [Ф (I) Ф (II) Ф+ (III) ф+ (IV)
S] )0 ^32 з)
' ' ' (S > о
* Обращаем внимание на аналогию последнего соотношения с общими
соотношениями § 2. Лишние по сравнению с прежним определением множителя
ехр (± рфУ) приводят к появлению дополнительного фактора ехр [ - р, (Рх -
- р2)1 (см- раздел 32. 3.)
308
Если функции Грина известны, то извлечь из них информацию, касающуюся
распределений вероятностей, корреляционных свойств ит. п., можно обычным
способом. В частности, одночастичная матрица плотности системы имеет вид
R (Яъ q*) = -i Hm G (I, II). (32.4)
+o
Несколько более сложным путем получается информация о спектре возбуждений
системы. Для этого надо располагать обычной временной функцией Грина (см.
§ 29). Оказывается, что значение температурной функции Грина позволяет
непосредственно построить временную функцию Грина. Это достигается
аналитическим продолжением G (I, II) по переменной рх - р2 в комплексную
плоскость.
Сопоставим выражения для температурной и временной функций Грина
Gfi (<7i, Pi, Чч, P2) -
Г Sp {gT fexp (H-pN) Pi] Ф (tfj) exp [ - (H - pJV)X I A X(Pi - Pa)] Ф+
(q,) exp [ - (Л - m p2]} / /Q0
- - t splg) ' й>
GAQv h, Яг, Q =
. Sp jgr [exp (IHtг) ф exp [ - tH (Б - t2)] ф+ (q2) exp ( - iHt2)]}
Sp(r) (32. 6)
где введены для удобства индексы р и t. Преобразуем далее выражение для
Gt, используя соотношения
ехр (- t'pM) ф (q) ехр (ip.M) = ф (q) ехр
