Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 117

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 127 >> Следующая

состоянию ?(,. Среднее значение n-частичного оператора ап в представлении
чисел заполнения имеет вид
( 'Ро I "гс | 'Ро > = i dch ¦ ¦ ¦ dc!n < % I (qn) • . . г]>+ {qi) X Х .
qn^^ 1) • • • 'К?п)1ЧГ0> .
где индексы у оператора а обозначают переменные, на которые он действует.
Этот оператор можно вынести из-под знака среднего и свести тем самым
рассматриваемое выражение к матрице плотности. Для этого используем
тождество
^\dq\ ... dqn 6 (<7, - q[) . . . 6 (qn - qa) a4l . . . qn b (q[ .
. . qn),
позволяющее поменять местами операторы поля и а. Отсюда
< ?0 (""(?"> - j dq{ ... dqndq\ . . . dq'n X
X 6 (9l-<?;)... 6 (qn-q'n) aqi . . . ?n/?(<7i - • • <7", q[ ¦ ¦ ¦
q'n)- (A. 10)
В частности, можно написать
< ?0 | ai | ?0 > = j dq{ dq'fi (<7, - q{) aqi R (qv q[) =
= \dql Hm aqtR (qu q{). (A. 11)
q\ -> ?!
Иными словами, следует сначала подействовать оператором на матрицу
плотности и лишь потом положить <7j = <7j. Для двухчастичного оператора
имеем
1 "
< ^0 I a21 J dqi rf<?2 lim а?<?2Х
qi, 2~>qi, 2
X (1 3°ia) R (<7j, <7j^ R (q2, <72). (A. 11')
319
Введем оператор заполнения д, определяемый условием
# (<7. = (q - q').
Тогда выражение (А. 11) можно переписать в виде
<Чго|а1|Чг0> = \dqldq[b(ql-q'l) aqiQqb(ql - q\).
Ho 6(gj- <7j ^ представляет собой волновую функцию в координатном
представлении состояния с определенным значением координаты, равным qt.
Поэтому выражение j" dqfi {^qi - q|) ag6 (q1 - qj) является диагональным
матричным элементом оператора ад, а последующее интегрирование по ql дает
сумму таких матричных элементов, т. е. шпур * оператора ад
< ?01 0l| )= Sp (ад). (А. 121
Аналогично
<Т0|а,|Т0> =YSp[oMi(l-1?'li2)eftgfi] (А. 13)
и т. Д.
А. 3. Используя свойство независимости шпура от выбора системы
функций, приведем выражения (А. 12) и (А. 13) к виду, удобному для
приложений.
Выберем в качестве системы функций индивидуальные волновые
функции
частиц. На основе соотношения (4. 9) и определения матричных элементов
можно написать
( | | ) = У] пу { v | ах | v > , (А. 14)
V
< ^0 I "2 I У о > = -гг 2 1 "а 0 - 2) I Bv > (А- 15>
HV
и т. д.; учитывая, что перестановка аргументов в обкладках последнего
матричного элемента равносильна перестановке индексов состояния, имеем
j,, < pv | а2 (1 - <^°) | fiv } = ((tv I а21 fiv > - < f*v | а21 vp, )
.
Другая возможность написания средних значений связана с использованием
системы плоских волн [см. выражение (4. 20)]. При этом
< I "I I > = SpffT j d х J d3p ( axg ) (А. 16)
где шпур берется по дискретным индексам, а символ < . . . > ->
означает
< ... > -* = ехр ( - ipx)(...) ехр (ipx ).
Если аг не зависит от оператора импульса, то с учетом выражения (4.
18)
можно написать
< ?0 | ах | То ) = SpatJ dx j d3pa1f (x, p ).
В общем случае, полагая ax = ax (x, у*), имеем
( "iQ > ¦+ = exp ( - ip x) al (x, у*) exp (ip x) f ( x, p),
откуда **
< ?0 | ax | ?0 > = SpOT J dx J d3pa1 (x, yx + ip) f (x, p), (A. 16')
* Напомним основные свойства шпура операторов. Во-первых, его величина не
зависит от выбора системы функций, используемых при его вычислении. Во-
вторых, под знаком шпура допустима циклическая перестановка операторов-
сомножителей.
** Здесь мы фактически воспользовались теоремой Лейбница о
дифференцировании произведения
/ (V) а (х) b (х) = f (Ve + Vi) a (x) b (*),
где Va, ь действует соответственно на a (x) и b (x).
320
где Vx действует на функцию распределения. Если, в частности, а, не
завися
от х, то в этом соотношении можно заменить V* + ip на ip (это легко
проверить интегрированием по частям).
Соответствующее выражение для двухчастичного среднего мы приведем дл"1
случая, когда оператор аг зависит от импульсов лишь в комбинации (V --
-V")/2.
< I "2 I То > = Sp0iTi 0!t2 х
X J dxL dx2 J d3pt d3p2 exp [-i {px x1 + p2*2)] a2Qqi C?2 X X { exp \i
(~px x, + p2x2)\ - Sp{a)3°ix) exp [i [pxx2 + p2,?J]}
ИЛИ
< *Fo I a2 I ^0 ) = $ dx1 dx2 j d3px dap2 X
x j 1 __ exp ]} x
/ -> -" г (pi Рг) + V*. \ /_> _> ,
X a2 I Xj, *2, ---------------------------2--------------------------I f
l-П. PiI f I *2. Pi) ¦ (A- 17)
Если a2 является просто функцией д-,, д-2, то
< о I аг1 > = ~2~ f dxydx2 J d3pi d3p2 x
X U2 - gexp [i [p1 - p2) {xi-Xts)]} X
X a2 (лг1; дс2) f (jcb pj / (x2, p2), (A. 17')
где g = SpaT (1) - фактор вырождения.
Наконец, если в качестве системы функций возьмем функции с определенным
значением координаты 6 (q- q'), мы вернемся к соотношениям (А. 11), (А.
11').
Приходится сталкиваться также со шпуром двухчастичного оператора, который
берется лишь по одному из наборов переменных
5 = Sp?2 [л2 (! "^i, 2) е?г ] =
= J dq^dq^ ^q2 ^2 j tt2(1 *^1, 2) ^ (Я2< Я2) • (А. 18)
Используя выражение (А. 5), можно написать
5 = Е "v J db Xv (ч2) "2 (1 - <^1,2) Xv {я2у
V
Результат действия этого оператора на функцию имеет вид
5Хц(?0 = 2 М^2хС(?2)х1
v
аг X (Xv(?2) ХцО/i) - Xv(<?i)Xn(<?2)}- (А. 19)
Запишем оператор S чёрез функцию распределения, сохраняя прежние
предположения о структуре оператора о2. Поскольку 5 может зависеть от
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed