Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 114

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 127 >> Следующая

ехр (- i\iNt) ф+ (q) ехр (i\iNt) = ф+ {q) ехр (- i[it),
для доказательства которых учтем правила коммутации (3. 15) (см. также
приложение Б)
оз
ехр (- i\xNt) ф (q) ехр (щЛТ) = ф (q).
п-О
Тогда
Gt (Яъ ^i> Яг, ^г) =
Sp(gr {exp[((^-piV)C]f(r))exp[-n^-piV)X 1 X (ti - ti)] Ф+ Ы exp [- i (H -
\iN) <2]}) J
Sp (0
Из приведенных соотношений следует, что аналитическое продолжение функции
Gp (I, II) на мнимую ось рх -> itx, р2 it% дает при Pi > р2 функцию Gt
(1, 2) ехр (г> (tx - t2)) с tx > t%, а при Pi < Р2 функцию (1, 2) ехр
(г'р (tx - t2)) с t1<Cti. Так находят временную функцию Грина по
температурной в координатном представлении.
309
} (32.7)
Рассмотрим теперь соответствующий переход для компонент Фурье обеих
рассматриваемых функций *
Зо
Gpfai, <7* = [ d(Pj -P2)Ge(I, II)exp[te"(p1 -p,)]f
-Зо
{Gt (1, 2) exp [ifi (/x - /a)]}e Gt (qlt qt, e -f ji),
где Gt (qu q2, e) -фурье-образ функции Грина Gt (1, 2). Приведенные
соотношения непосредственно непригодны для аналитического продолжения.
Для этого удобно использовать спектральные представления.
32. 3. Получим предварительно спектральную формулу для температурной
функции Грина. Вводя полную промежуточную систему функций в соотношение
(32. 1), найдем
Gp (I, II) = - г 2 ехр [р0 (Q + - Еп) + (Еп - Ет + ц) х
т, п
X (Pi - Р2)] ( п | ф (^) | т) (т | ф+ (q2) \ п) X 1 Pi > Р2
Х 1 ехр [р0 {Еп - Ет -J- jx)] pj < р2.
Переходя к интеграции по Е - Ет - Еп и вводя Р = рх - р2, можно написать
со
Gp (Д, Яг, Р) = I dEA (qu q2, Е)х
- оо
j ехр [- р (Е - ц)] Ро > Р > О Х I - ехр [- (Р + р0) (Е - р,)] 0 > р > -
р0.
Заменяя р на it (t = t1 - t2), получим выражение для временной функции
Грина
Gt (Д- <72, t) ехр (щ/) =
ехр [-it(E - р,)] 7>-0
dEA (ш, q2, Е)
' -ехр [- (И ¦}- р0) (Е - ц)] t<0.
Спектральные плотности в соотношениях для Gp и Gt одинаковы. Перейдем к
фурье-образам этих функций. Несложные расчеты дают
о,<"" ?" .">-- f dE + М ,
-• ОО
оо
Gt{qv q%, е) -= j dEA (qlt q2, E)x
- со
V f 1 I exP [-Po (E - Ц)] )
л ) e - E + гб ^ e - E - ib Г
(2 n + 1) я Здесь по-прежнему en = W-- .
310
Из сопоставления этих соотношений видно, что особенности аналитического
продолжения функции Gt (q1} q2, г), дающие характеристики квазичастиц,
определяются особенностями аналитического продолжения температурной
функции Gp (qlt q2, е") по переменной гп.
В самом деле, в комплексной плоскости е можно опустить добавки ±г6 в
последней формуле и написать символическое равенство
1> Яг, е) = iGp (qlt q2, в") | е^->-г (ц-е)" (32.8)
которое означает, что для получения фурье-образа временной функции Грина
достаточно аналитически продолжить фурье-образ температурной функции
Грина в точку е" = i (р - е). Возможность и однозначность такого
продолжения гарантируются наличием бесконечной последовательности точек
определения Gp (е"), имеющей точку сгущения на бесконечности. Полюса
аналитического продолжения функций G (гп) дают одновременно и полюса
функции G (е). Таким образом, в температурных функциях Грина содержится
вся необходимая информация о равновесной системе многих частиц.
32. 4. Остановимся на вопросе о представлении термодинамического
потенциала й с помощью температурных функций Грина. Такое представление
дает возможность провести эффективное суммирование подлежащих учету
диаграмм теории возмущений.
Проводимое далее рассмотрение совпадает в основных чертах с расчетами,
содержащимися в § 15 и 19. Заменим гамильтониан взаимодействия Н' на кН'
и продифференцируем по к соотношение
й - й0 In (5)о,
Ро
учитывая, что й0 и обкладки оператора S не зависят от к. Это дает
dQ _ (dS/d\)0 ^ g
Далее,
дХ Ро ( S >о
dS д
Т (ехр
Ро
к J сфЯ' (Р)
дХ дХ
--- Hdf,T[H' (Р)5(Р0)].
о
Очевидно, что проведение дополнительной хронологизации под знаком Г-
произведения не меняет результата. Таким образом, с учетом й |я=о = й0
можно написать
0-0.+ti*r" • (32Л0)
о о
311
Обозначая подынтегральное выражение в этом соотношении через Q и применяя
метод, приведший к уравнению (32. 2), получим
sP[g//; Ф)]
<Э (Р)
Sp (Б)
Дальнейшие рассуждения такие же, что и в разделе 15. 3. Единственное
отличие состоит в замене оператора i на
- -щ р, возможность которой вытекает из сопоставления
уравнения движения оператора фг (I)
^гМ1)-[Я-рМ Ч>Г(1)]
или (Pi = р2)
- Г+р) ¦$r(l) = b$dq2V(ql, <72)Ф+(П)фг(П)фг(1)
с уравнением (3. 28). Поэтому величину Q можно выразить только через
одночастичную функцию Грина
Q (Р) = - ~к j dqi [^: + Р - (! + ^) X
X [G (I, II) - G0 (I, II)].
Далее, как и при квантовомеханическом рассмотрении, разлагаем S (Р) по
нормальным произведениям (§ 14), подставляем это разложение в уравнение
(32. 2) и вводим температурный массовый оператор М (I, II), который
описывается диаграммами того же типа, что и аналогичная величина при Т =
0 (§ 19). В результате приходим к температурному аналогу уравнения
Дайсона, имеющего в дифференциальной форме следующий вид
_(^. + |i+7'+lV')G(I, II) = Jrf III уМ (I, III) (III, II), (32.11)
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed