Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Представим ? (Р) в виде
?(P) = ?o(P)S(P), (31-9)
где 5 (Р) - некоторый неизвестный оператор. Тогда для 5 получается
уравнение*
_М = Я'(Р)5(Р), (31.10)
где
Я'(Р) = ?5-,(Р)Я'?0(Р). (31.11)
Здесь отчетливо видна аналогия с переходом в обычное представление
взаимодействия в квантовой механике: 5 (Р) является аналогом 5-матрицы,
?0 (Р) - аналогом оператора перехода ехр ( - iH0t).
* Дифференцировать нужно только по параметру р, стоящему в экспоненте.
Кроме того, Н0 и Н' зависят от реальной обратной температуры системы р,
которую в дальнейшем мы будем обозначать через ро.
301
или
Учитывая очевидное граничное условие
?(О) = ?о(0) = 1,
имеем
5(0) ~1. (31.12)
Можно, таким образом, сказать, что 5 ф) описывает "эволюцию системы по
температуре" от точки |3 = 0, где взаимодействие никакой роли не играет*,
до значения р.
Формальная тождественность (с точностью до замены it -э- (5) уравнения
(31. 10) и уравнения для обычной 5-матрицы позволяет сразу написать
представление 5 ф) в виде суммы Г-произведений
(Ро) = Т ехр |- fd$H' ф)} (31.13)
*У(Ро) = 2 f ¦ • • d№ [Н' (Рх) . . .Н' ф")].
п=1 0
Здесь хронологизацию нужно понимать в смысле упорядочения по параметру
|3: все сомножители под знаком Г-произведения должны быть расположены в
порядке возрастания (3 справа налево.
Зная 5 (Ро). можно получить полную термодинамическую информацию о
рассматриваемой системе. Обозначая через Z0 = = Sp (g0) статистическую
сумму системы в приближении Хартри- Фока, можно написать
х-Ш-<*">•"•¦ <3L14)
Здесь символ (. . .)0 означает усреднение по статистическому оператору
приближения Хартри - Фока.
Таким образом,, для нахождения статистической суммы, а следовательно, и
остальных термодинамических величин, необходимо знать среднее значение 5-
матрицы 5 ф0)- Выражение (31. 13) служит исходным пунктом последующих
построений.
31. 3. Теперь надо исключить "виртуальные" операторы и свести Г-
произведения К УУ-произведениям.
Запишем операторы поля в представлении взаимодействия по температуре в
явной форме
^ (?> Р) = ?о~Ч (?) ?о =
= 2 ["v (1 - Vпу) + bt Vnv]exp [- Р (ev - |х)],
V
ф+ (q, Р) = 2 [at (1-Vпч) + bvYnv] ехр ф (ev - р)].
(31. 15)
* При бесконечно высокой температуре всякая система многих частиц
(рассматриваемая нерелятивистским образом) превращается в идеальный газ.
Это обстоятельство, полностью соответствует выключению взаимодействия при
t - = ± оо в квантовой механике и является менее формальным, чем
адиабатическая гипотеза.
302
Здесь использованы правила перестановки
[Но, av] = - evav> [Я0, e+] = eva+
и т. д. Операторы гр+ [д, Р) и гр (д, Р) уже не являются эрмитово
сопряженными по отношению друг к другу. Однако это обстоятельство,
связанное с неунитарным характером оператора ?0, несущественно.
Для операторов гр (д, Р), гр+ (д, Р) можно ввести понятие об их
нормальном произведении, которое определяется тем же способом, что и
выше. Гамильтониан возмущения Н' (Р), входящий в соотношении предыдущего
раздела, можно тогда записать в виде
Я' (р) = -L \dqdg' Я [гр+ (q, Р) Чр+ (д\ р) 1Лр (д', Р) гр (д, р)].
(31.16)
И здесь текущий параметр р отличается от реальной температуры системы,
входящей в nv.
Важным является вопрос о среднем значении нормального произведения. В
квантовой механике эта величина обращалась в нуль при усреднении по
основному состоянию системы, что чрезвычайно облегчало выкладки. В нашем
случае дело обстоит сложнее ввиду того, что усреднение охватывает все
состояния, в том числе и состояния с отличным от нуля числом частиц и
дырок. Тем не менее можно положить
(Я [гр (I) гр+ (II) . . .])" = 0, (31.17)
где римскими цифрами здесь и далее обозначена совокупность координат q и
обратной температуры р.
Рассмотрим сначала Я-произведение пары операторов. Поскольку при
усреднении по каждой из конфигураций Чг0" обкладки слева и справа
одинаковы, достаточно рассмотреть лишь выражение (Я [гр+ (I) гр (II) ])0,
причем по той же причине в нем существенны лишь два члена
(1Ч>+ (1)<+) Ф (Н)(_> - гр (П)(+) гр+ (1)н-)])0.
Подставляя сюда разложения (31. 15), найдем
(Я [гр+ (I) гр (II)] }0 = 2 х; (<7i) Xv Ш X
V
х ехр [(Рх - р2) (ev - р,)] {(atav)0 (1 - Vn~vf.-
- {btbv)0nv}. (31.18)
Величина nv представляет собой среднее значение оператора A+Av (см. § 3)
или, после перехода к дырочному описанию,
"v = (А$Ау) - (l tty) (e^ev)0 -j- riy (bybt)o-
Отсюда, учитывая (bb + )0 = 1 - (b+b)0, имеем (1 - VnyY{atay)0 = пу
(btby)0,
что и доказывает равенство нулю выражения (31. 18). Исходя из этого,
можно написать
(yV(H+Hv))0 = 0, (31.17')
т. е. теорема (31. 17) справедлива и для отдельных слагаемых, отвечающих
определенному состоянию v.
Разложим в общем выражении
<ЛГ(*+(1)ф(П) • • -))о
каждый оператор по состояниям v. Получим сумму членов; дальнейшее
рассмотрение относится к любому из них. Если в одном из членов имеется по
крайне мере пара одинаковых операторов AVAV или Д+Л+, то он тождественно
обратится в нуль из-за свойств перестановки этих операторов. Важен, таким
