Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
классическим и квантовым способами описания объекта является операторный
характер квантового подхода. Операторная формулировка наглядно отражает
соотношения неопределенностей; проблема перехода к классике (или
квазиклассике) при этом заметно упрощается и ее решение сводится к
пренебрежению коммутаторами соответствующих операторов.
Простота операторной формулировки в значительной степени компенсируется
тем, что операторные выражения относятся к классу величин математически
более сложной природы, чем обычные величины. Как правило, операторные
выражения представляют собой функции нескольких некоммутирующих друг с
другом аргументов. Правила обращения с такими функциями весьма сложны.
Они будут рассмотрены в этом параграфе. Мы будем следовать простому и
физически легко интерпретируемому методу, предложенному в работе Блоха
[135]. Что же касается других методов операторного исчисления, то их
краткий обзор и библиография содержатся в работе [43].
Б. 2. В дальнейшем будем рассматривать функции от сухмы операторов.
Пусть дана некоторая функция f (а + Ь) от суммы двух некоммутирующих
аргументов а и Ь. По определению, два оператора А и В считаются
функционально связанными [А = / (В)], если их собственные функции
совпадают, а собственные значения имеют ту же функциональную связь, что и
операторы
Щп = Вп%, Аф" = f (Вп) ф".
Функция некоммутирующих аргументов является гораздо более сложным
математическим образованием, чем обычная функция. Это проявляется в том,
что при вычислениях, где фигурируют подобные функции, элементарные
математические правила оказываются совершенно непригодными. Так, например
(а+ -ф Ь)2 и ехр (а + Ь) отнюдь не равны соответственно а2 -ф 2аЬ- Ь2 и
ехр (а) ехр (Ь), а зависят и весьма сложным образом от коммутаторов
операторов а и Ъ.
Поэтому целью операторного исчисления является переформулирование
указанных правил, сводящееся к выявлению соответствующей зависимости от
коммутаторов.
При достаточно широких предположениях о виде функции можно считать
возможным ее разложение в интеграл Фурье (или Лапласа)
/ (а + b) = j dxfx ехр [т (а + Ь)], (Б. 1)
где т - мнимый или действительный параметр. Это позволяет ограничиться
рассмотрением только экспоненциальной функции
Е (т) = ехр [т (а -ф Ь)].
Если бы операторы а и b коммутировали, то мы имели бы просто Е (т) = =
ехр (тЬ) ехр (та). Дополнительную зависимость от коммутаторов можно
отразить, введя в эту формулу добавочный сомножитель К
Е (т) = ехр (тЬ) К (т) ехр (та). (Б. 2)
Как правило, в произведении операторов каждый из сомножителей действует
на все величины, стоящие справа от него.
Порядок сомножителей в выражении (Б. 2) может быть произвольным (конечно,
при разном выборе будут получаться и разные выражения для К). Принятое
написание оказывается удобным в том случае, когда объектом действия f (а
-ф Ь) является фа - собственная функция оператора а с собственным
значением а. При этом
Е (т) фа = ехр (тЬ) К (т) ехр (та) фа = ехр [т (а + Ь)] К (т) фа.
Теперь в показателе экспоненты стоят коммутирующие величины и все отличие
от обычной экспоненты сосредоточено в множителе К. В дальнейшем для
краткости не будем писать функции фа, на которую действует
рассматриваемый оператор.
Перейдем к отысканию уравнения для К (т). Дифференцируя выражение (Б. 2)
по т, получим
гЖ
-а- = ехр (- тЬ) а ехр (тЬ) К - Ка. (Б. 3)
от
Отметим, что комбинация ехр (
- тЬ) а ехр (тЬ) = Л-[b [Ь . . . [Ь, а]. . .]]
п=0
выражается только через коммутаторы а и Ь, что легко проверить
разложением в ряд по т.
Полагая в выражении (Б. 2) т = 0, приходим к начальному условию для к (т)
К (0) = 1.
Б. 3. Если операторы а и Ъ таковы, что большинство их коммутаторов равно^
нулю, то уравнение (Б. 3) может иметь простые решения.
1. Пусть, например, коммутатор [а, Ь] является с-числом; это будет
единственный отличный от нуля коммутатор. Тогда
ехр (-тЬ) а ехр (тЬ) = а - т [Ь, а],
и мы получаем известную формулу Глаубера [136]
Е (т) = ехр [т (а -f- Ь)] ехр
|-ти}.
(Б. 4)
Более сложному случаю, когда с-числами являются коммутаторы [Ь[Ъ, а]] и
[[Ь, а] а], отвечает формула
т2
Е (т) = ехр [т (а + Ь)] ехр
Хехр
(Я'
[Ь [Ь, а]] + [[Ь, а] а]
[b, a]j ))¦
X
Подобным же образом из Е (т) могут быть выделены сомножители, отвечающие
коммутаторам высшего порядка.
2. Пусть отличны от нуля только коммутаторы типа [Ь[Ъ . . . [Ъ,а] ...]],
т. е. они все коммутируют друг с другом и с а. При этом К также
коммутирует с а и уравнение для К легко решается •
Е (т) = ехр (тЬ) ехр j J dt ехр (- tb) а ехр (В)) j (Б. 5)
Например, если а = F (х) и Ъ = то, учитывая свойства оператора смещения
*, получим
еЧт[ж + я w]}=exp(Ti)
ехр
: ехр
Х-\-Х
I F(l)dl
ехр
J F(l)d|
Н)-
Оператором смещения является величина ехр (tf\7) ехр ("V) ф (х) = <р (х -
}- а).
(Б. 6)
325
Другой частный случай отвечает коммутационным соотношениям ¦
[Ь, а] = Ха,
где X - с-число.
При этом
Е (т) = ехр (rb) ехр ^ (-T^) ^
3. Более сложен случай, когда отличны от нуля (и коммутируют друг с
