Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
написать (е; - полюса функции /)
2/^ - - 4 2выч/(е)Iч-^•
п i
Несложное вычисление дает следующее выражение для поляризационного
оператора:
П(Л, соn) = -jr\ d3pn
¦ (Р + kf
2М
2
2 'п
(0"
(33. 10)
315
При [малых значениях k и m/k -"¦ 0 имеем
п (0) = п(е) (0) + п(р) (0) = - р [С(е) + е(р)1- (33.11)
В соответствии с результатами § 27 это приводит к дебаевскому
экранированию кулоновского потенциала. Соответствующий радиус Rо просто
связан с поляризационным оператором
X2 ^ -V = - 4яе2 П (0). - (33.12)
Представляя соотношение (33. 5) в виде
(t \ 4яе2 Г. Алег " (t -1
Y \ k> ^2 " 1 ^2 Г1 [k, COrt) j ,
Рис. 68
находим, что в точке
4я
6(р)
м
(р)
6(e)
М
(e)J
(Л + 0)
(33. 13)
эффективный потенциал у имеет полюс. Это свидетельствует о наличии новой
ветви спектра возбуждений парного типа - плазменных волн (см. § 27 и 28).
Переходя к вычислению корреляционной части термодинамического потенциала,
подставим в соотношение (33. 9) выражения (33. 10). Несложное вычисление,
аналогичное проведенному выше, дает
Q _ Q0 = _ у фз (С(р) + е(е))3/2. (33. 14)
Это выражение получается и с помощью метода Дебая-X юккел я.
Относительный вклад корреляционного члена в Q имеет порядок <х3/2.
Неаналитический характер этой величины, как функции а, делает невозможным
использование в данном случае нескольких первых членов ряда теории
возмущений. Суммирование целой последовательности таких членов
обязательно.
516
В работе [131] были вычислены и последующие члены разложения Q, имеющие
порядок a2 In а. Мы ограничимся приведением соответствующих выражений при
kT < е2/а0
Q - Q0 = - V^e3 (226(0 + Q(e))3/2 +
+ -f- pv (2aew - е<,))2 ln(l/pe2/?0) + 0 (a2) (33. 15)
и при kT > Z2e2/a0
F - F0 = --^- \ ф3 [Z (Z + 1 )]3/2e3/2 +
+ JL Z* (Z2 - 1) P2e6g2 In (-^jL) + О (a2). (33. 16)
Здесь Q и F - термодинамический потенциал и свободная энергия
соответственно, q(,) - плотность ионов, Q(e> - плотность электронов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ
А. 1. В представлении чисел заполнения сильно облегчается задача
вычисления средних значений операторов по состоянию Т0, отвечающему
одночастичному приближению. В отличие от конфигурационного представления,
где для решения этой задачи пришлось бы проводить громоздкие вычисления с
детерминантами Слейтера - Фока, в представлении чисел заполнения все
сводится к использованию простых правил перестановки операторов рождения
и уничтожения.
Начнем с рассмотрения "-частичной матрицы плотности, определяемой
соотношением
Яп, я\ ¦ ¦ ¦ я'п) = { % | ф+ (q'n) . . . •ф+(<?;) X
X г|>Ы • • ¦ Ф' ЫЮ. (А 1)
Подставляя сюда разложения (3. 9), получим
^ = 2 5?|ii Ы • • ' Яц ('fn) (Яг) ¦ ¦ ¦ Xv (Яп) А^ ,
. . u Vl . . . v
Ц, V
где
... iin, v, ... vn= < Фо j . . . A^AVi . . ¦ Av^ J V0 > . (A. 2)
При вычислении A)XV следует иметь в виду, что вследствие совпадения
правой и левой обкладок этого выражения состояния уничтожаемых частиц
(vx. . . v") должны совпадать в совокупности с состояниями рождающихся
частиц (р^. . ". р"). Кроме того, поскольку состояние ^P"0 отвечает
одночастичному приближению и удовлетворяет условию (4.6), возникающие под
знаком среднего операторы чисел заполнения nv можно заменить их
собственными значениями nv.
Вычислим несколько простейших функций А^у. При п= 1 имеем
Afiv = < 'Pol I 'Po ) *Vv = (A. 3)
При ti - Ч, учитывая две возможности (px = v1; pa = v2 и px = v2, p2 =
vx) и переставляя в каждом случае операторы А и А* таким образом, чтобы
возникли соответствующие операторы чисел заполнения, найдем
^Й1Й2, VtVj = nvtnv2 (^V,v1^n2v2 В общем случае, как можно показать по
индукции, имеет место соотношение
. . . "п, V, . . . v" = "V, • • • "v" det I V* I > (A. 4)
где det - детерминант, построенный из б-символов (г, k - 1, 2 . . . п).
Возвращаясь к выражению для матрицы плотности, можно с помощью выражения
(А. 2) записать для п = 1
я (?1 ' я{) = 2 nvXv (?i) 5Cv №)- (А- 5>
V
318
для ti = 2
R (?1> ?2- 9l- 9г) = R (?I- ?l) # (<?2> 42) - R (<7i- q'2) R (?2- ?i)-
(A- 6)
В общем случае n-частичная матрица плотности представляется в виде
детерми-нанта, построенного из одночастичных матриц,
" (?1 • ¦ • Яп' ч[ • • • я'п) = det | R (??. I • (А. 7)
Возможность сведения матрицы плотности высшего порядка к одночастичным
целиком обусловлена выбором одночастичного приближения.
Выражение для матрицы плотности высшего порядка можно привести к виду
простого произведения одночастичных матриц плотности путем введения
операторов перестановки координат §Р (см. § 1). Для двухчастичной матрицы
плотности получается выражение
R (<?,, 92, <7J, q2) = (1 - 2) Я (<7Р q[) R (q2¦ q'2). (А. 8)
где индексы у оператора §Р обозначают переставляемые координаты (of
действует только на координаты без штрихов). Для п= 3 нетрудно найти
R (Д- Я2> <73- ?1- Я2> 7з) =
= (1 - 2) (1 - j - ?Р2' з) (<?i. R (q2, q2) R (q3, q3).
(A. 9)
Аналогичным образом можно представить матрицы плотности высшего порядка.
А. 2. Переходим к задаче о вычислении средних значений операторов по
