Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
образом, случай, когда операторы входят парами, относящимися к разным
состояниям.
(N (A+AvA+Av, . . .))0.
Но статистическое усреднение в приближении Хартри - Фока происходит
независимо по разным состояниям. Поэтому последнее выражение, в котором
из-за v ф v' возможно произвольное расположение операторов разных пар
друг относительно друга, сводится к произведению (N (Л+Лг))" {N
(^+.^v,);0, . • , т. е. в силу равенства (31. 17') мы приходим к нулевому
результату. Теорему, таким образом, можно считать доказанной.
31. 4. Далее следует ввести понятие о температурной свертке операторов
поля в представлении взаимодействия. Определим ее обычным образом (Т -
символ упорядочения по Р)
¦ (1)ФЧП) = Г(^я|>+) - jV(tptp+) = (Г(г|5г|5+))". (31. 19)
Здесь мы использовали доказанную выше теорему. Основные свойства свертки,
отмеченные в § 10, сохраняют в данном случае свою силу. Прямое вычисление
дает
тр (1И>+ (II) = 2 X* Ы Xv (<7х) X
V .
(1 - nv 6, >¦ 6"
X ехр [- (ev - р) (Pj - р2)] j (31.20)
Это выражение может быть получено из соотношения (10. 5) заменой itl)2 ->
Pi,2, ev -> ev - р *.
* Все свелось бы просто к замене *У112 -> (3 г, 2> если бы мы определили
операторы в представлении взаимодействия с помощью оператора перехода U =
= ехр [t (На - piV) t], как это часто в статистике и делается.
Аналогично, для перехода в гейзенберговское представление может служить
оператор U = = ехр [i (Н - (лЛГ) I]. Отметим, что в физические величины
обычно входят разности энергии, так что указанное различие несущественно.
304 '
Правила Вика, отражающие общие алгебраические свойства операторов,
остаются в силе и в квантовой статистике. Таким образом, можно исключить
виртуальные операторы, сведя Г-произведения в разложении 5 (Р) к
нормальным произведениям.
В температурной теории можно в полной мере использовать диаграммную
технику; это является важнейшим преимуществом полевого подхода по
сравнению со старой термодинамической теорией возмущений. Правила
Фейнмана в координатном представлении испытывают лишь следующие
изменения:
а) фактор (- i)n заменяется на (- 1)га;
б) интегрирование по времени от -оо до со заменяется интегрированием по Р
от 0 до ро;
в) обычные свертки операторов заменяются температурными. Правила Фейнмана
в импульсном представлении, наиболее
удобные для практических приложений к описанию пространственно-однородных
систем, будут рассмотрены в следующем разделе.
Вернемся к задаче о вычислении статистической суммы и рассмотрим
выражение:
-f = <5(Ро)>о.
О
Из теоремы о равенстве нулю среднего значения всякого ^-произведения
(кроме, разумеется, N (1) = 1), видно, что из всех диаграмм теории
возмущений в Z дадут вклад только диаграммы вакуумных переходов. Такие
диаграммы можно записать в виде экспоненты (см. § 14).
-f = ехР (L)>
где L - сумма всех связных диаграмм вакуумных переходов. Так можно прийти
к простому выражению для термодинамического потенциала Q
Q = Q0__Ll, (31.21)
где ?2о - термодинамический потенциал в приближении Хартри- Фока.
31. 5. Основное отличие диаграммной техники в импульсном
представлении при Т ф 0 от техники, рассмотренной в § 13,
заключается в наличии конечных пределов интегрирования по р. В остальных
отношениях соответствующие правила Фейнмана сохраняют свою силу.
Рассмотрим свободную температурную функцию Грина
G0(I, П) = -;ф(1ЙГ+(П). (31.22)
Эта величина зависит лишь от разности (5 = р 2 - р 2 и как функция этой
разности определена в интервале от - Р0 До Ро-
305
Целесообразно периодически продолжить G0 по переменной р по всей оси р.
Тогда G0 (qlt q2, (5) можно разложить в ряд Фурье по переменной р
G0 (Яи 42, Р) = 2 С° ехр ie^' (31 -23)
п
где
Ро
G0 (Я1, Яг, вл) = -j- j ?фС0((Ь q2, Р) ехр (гв"Р). (31. 24)
-Ро
Для нахождения допустимых значений е" можно воспользоваться равенством
G0 (<7i> ^2, Р) = G0 (^1; q2, р + Ро). (31. 25)
Подстановка в это равенство разложения (31. 23) дает 2Gu (Ях, <7г, еп)
(ехр (- ""р0) + 1)] ехр (- "е"Р) = О,
П
откуда ехр (-ге"ро) = - I и
е" = -4^-- (31.26)
КО
Фактически это условие справедливо и для точной функции Грина.
Для доказательства равенства (31. 25) воспользуемся соотношениями (31.
15). При рх > р2 можно написать (знаменатель Sp (g0) подразумевается)
G0(c7" q2, P) = Sp [?0(P0)?T1(P.)^((?i)So(P1)^1(P2)t+(^)?o(P2)l,
или, учитывая возможность перестановки операторов под знаком шпура и
очевидные соотношения
go (Pi) So (Р8) = So (Рх + Р*), So (Р) ?о(- Р) = 1,
G0 (<7р <72> P)=Sp[?o(Po)?^P)*(<70?a(P)r(<72)]- '
Здесь Р = Pi - Р2. Переставляя последние два сомножителя налево, найдем
G0 (<7" ?2. Р) = SP [So (Ро) S(T' (~ Р + Ро) Г (Я2) So (" Р + Ро) * (<7,
)1 •
При Pi < Р2
G0'('7" ?2, P) = -Sp[E0(P0)E0-1(-P)r(<72)E0(-P)^(<71)]-
Отсюда при р < О
G0 (^i, q2, Р) = G0 (7i> Яг, Р "Ь Ро)-
Условие циклического продолжения делает это соотношение справедливым при
любых р.
306
Переход в импульсное представление в выражении для функции Грина дает
G0 (<7i> еп) =
