Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Записывая ее в виде
Za = Ц ехр (Р ([iNn - Еп)]
п
292
и полагая Nn = 2 nv, Еп = 2 evnv + где "v - число запол-
V V
нения уровня v, имеем '
Z0 = ехр (- PQS П {ех.р [р (ц - ev)])"v =
ft V
= ехр(~рС)П{1 +exp[P(p-ev)]}. (30.3)
V
Здесь мы использовали то обстоятельство, что, изменяя произвольным
образом на каждом уровне число заполнения nv, т. е. полагая последнее
равным 0 и 1, можно перебрать все состояния п.
Таким образом, мы приходим к выражениям
{A+Av) о = а^Пу,
(AjxAv АаАх)о = (6V(J6^t ПцПу
и т. д., где введено среднее число заполнения состояния
nv = {1 +exp[P(ev - р)]}-'. (30.4)
Сравнивая полученные выражения с результатами приложения А и
§ 4, мы видим, что если в статистике ввести оператор
заполнения q
QXv(<7) = nvXv (q),
где в явном виде
6 = (1 +ехр [Р (Г + [у -(30.5)
то все правила усреднения, сформулированные в квантовой механике,
остаются в силе (фактор ехр (РС) при усреднении сокращается). В
частности, для одночастичного и двухчастичного операторов имеем
("x)o = Sp (а,в),
(аг)о - ~сГ (1 12) Q1Q2]•
Варьирование выражения (30. 1) по #0 приводит к соотношениям W = Sp,- [
V(q, q') (1 - ^V) в,.], (30. 6)
C = -4-Sp[Vfo, q-){(30.7)
которыми гамильтониан приближения Хартри - Фока определяется полностью.
Матричные элементы оператора q по-прежнему дают матрицу плотности системы
(в приближении Хартри - Фока)
*0 (Я. Я') = 2 (я') xv (Я)• (30. 8)
V
Обычным способом можно перейти к функции распределения
f{x,.p) (см. §4). Соотношения (4.29)-(4.34) гл. II также 19 Д. А. Киржннц
293
полностью сохраняют свою силу, если произвести в них соответствующую
замену оператора заполнения.
Не составляет труда записать выражение для функции Грина в приближении
Хартри - Фока. Надо просто заменить в соотношениях § 10 величину nv на
{ехр [|S (ev - р) ] + I}'1. В частности, для однородной системы
g"fe <зо-9>
Р Р
Здесь п->-среднее число заполнения уровня, равное
{е*Р[Р(е,Г"(')]+ 'Р
химический потенциал р находится из условия нормировки
g j" d3pn+ = Q.
Нетрудно видеть, что соотношение (30. 9) находится в полном соответствии
с общей спектральной формулой (29. 21) и отвечает выбору
Im G (р, е) = л |2п~у - 1 j б - е^>|.
Возвратимся к выражению для среднего числа заполнения. Эта величина
зависит только от энергии, и все подсостояния, отвечающие данному
значению энергии, заполнены в одинаковой степени. Это обстоятельство
сближает статистическую систему с системой при абсолютном нуле,
обладающей заполненными оболочками. Благодаря этому при последующем
построении теории возмущений не возникает усложнений, связанных с
вырождением уровней нулевого приближения.
30. 2. Особого внимания требует вопрос о вычислении энергии и других
термодинамических величин в приближении Хартри-; Фока. Средняя энергия
системы может быть определена, во-первых, как среднее значение
гамильтониана Нй (динамическое определение энергии)
?0 = (Я0)о
и, во-вторых, чисто термодинамически
Ео = (l + - М- ф-)
В приближении Хартри-Фока эти определения не совпадают. Связано это с
тем, что эффективный гамильтониан приближения М0 в отличие от точного
гамильтониана Н сам зависит от Р и р.
294
Рассмотрим термодинамическое определение энергии, подставляя вместо Ц,
величину /lnSp {ехр [Р (р# -#0)]}. Несложный расчет дает
Е0 = /ехр (РЯ0) (/- • ± - /-) ехр (-Р Л")\ .
Если бы гамильтониан Н0 не зависел от р и р, то мы вернулись бы к
динамическому определению. Однако в рассматриваемом случае необходимо
дополнительно дифференцировать //0 по р и р.
Расхождение в двух определениях энергии объясняется упро-щенным
проведением процедуры самосогласования. Если бы эта процедура проводилась
для каждой из конфигураций Чг", то эффективный гамильтониан Н0 (разный
для разных конфигураций) не содержал бы никакой зависимости от р и р.
По тем же причинам в приближении Хартри - Фока теряет свою силу целый ряд
термодинамических соотношений, в частности, дифференциальные соотношения
(29, 8). Рассмотрим, например, производную
(-ж) г = ~N ~ т<ехр iехр (-то),-
Зависимость Н0 от р приводит к отличной от нуля величине второго члена
правой части этого равенства *. Поэтому в рассматриваемом приближении
термодинамические определения физических величин, основанные на
соотношениях типа (29. 8), использовать нельзя. Следует либо опираться на
динамические определения, в частности
Ео = (Я0)о и jV= (ЛОо, либо использовать термодинамические соотношения,
формально полагая при этом величины W и С не зависящими от р и р.
Последнее означает, что необходимые дифференцирования по р и р следует
проводить до процедуры самосогласования, приводящей к появлению
зависимости W и С от р и р.
Рассмотрим с этой точки зрения давление Р. Эту величину
можно определить чисто динамическим образом, как действующую на систему
силу, отнесенную к единице поверхности; такой подход был принят, в
частности, в работе [63]. Другая возможность состоит в использовании
чисто термодинамического соотношения
р__ Рр ¦
