Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
one-
-У
ратора импульса, рассмотрим результат его действия на ехр (ФхЛу):
5 ехр {ipiXj) = Spa2t2 J dx2 j d3p2 exp ( - ip2x2) X
X o2(l 2) e?2 exp [t + p2*2)].
321
Проводя такие же выкладки, как и при вычислении среднего, находим 5 ехр
= Sp | Лхг J d3p2 x
X
["a
Xl' o' (v. + ipi) f[x,2, Pi +'p2) -
X
X exp | ip2 -
/ Ui. Pi + Pa) exP (ta) ¦
Окончательно в символической форме, заменяя рг на оператор импульса р,
можно записать
*1, *2.
5 = SPa2tJd^j d?Pi\a,
_ ^(о)^р(т) ехр [г-р2(^_ *2)] а2^ь х2, у (v^ + гр2)
f [х2, р2+Р)
f Ui. Ра
ьр)}.
(А. 20)
А. 4. Несколько более сложную задачу представляет собой вычисление
среднего значения произведения операторов. Рассмотрим простейшие примеры
такого рода.
Произведение операторов ар всегда можно представить в виде полусуммы их
коммутатора [а, р] и антикоммутатора {а, Р). Начнем с вычисления среднего
значения коммутатора. Коммутатор двух одночастичных операторов otj и р1?
как нетрудно проверить с помощью правил коммутации (3. 10), представляет
собой также одночастичный оператор
["1. Pi] =- I dq Ч>+(<7)[о, Щ ф(<7).
Отсюда с помощью выражения (А. 12) находим
< | ["!, Pi] | Yo > = Sp ([а, Ь] е). (А. 21)
Используя возможность циклической перестановки сомножителей под знаком
шпура, можно переписать их в виде abQ - aQb= a [q, Ь]. Поэтому, если один
из операторов коммутирует с Q, т. е. если отвечающая ему величина
является интегралом движения, то соответствующее среднее значение
обращается в нуль.
Аналогично коммутатор одно- и двухчастичного операторов представляет
собой двухчастичный оператор следующего вида:
l"i, Рг1 - { dq1 dq2ty+ (qj ф + q^ [aq^, J Ф Ы Ф (<7i),
откуда
<Фо|["ь Ра]|Ф0> =Sp{[a?i, -<^1,2) """"}• (А-22)
А. 5. Переходим к нахождению среднего значения антикоммутатора двух
операторов. Рассмотрим сначала антикоммутатор двух одночастичных
операторов
< Фо I {"ь Pi} I Фо > = J dq1 dq2 < 'Fo ( {Ф+ (4i) <*Ф (?])]Ф+ Ы &Ф
(<7а)} ЦФо > •
Вводя 6-функции, приводим это выражение к виду
j dqx dq2dq[ dq'fi (</, - q\) 6 (q2~q2) (aqbq, + aqbqJ X
X (Ф0 | Ф+ (^) Ф (<?i) Ф+ (q'2) Ф (q2) I Фо )•
Фигурирующее здесь среднее значение может быть сведено к матрицам
плотности. Для этого поменяем местами второй и третий операторы,
используя правила перестановки (3. 10). В результате среднее значение
приобретает вид
Ч2> 4i' q'2) + 6 {Ч1 - Ч2) R (?i. ч'2) =
= [О-Л, 2)e?1e,2 + ^i,2e2J6 (<?i--vj) * (<?i -^2)-
322
Во втором слагаемом квадратной скобки введен оператор перестановки, с
помощью которого 6-функции приобретают тот же вид, что и в предыдущем
выражении. Кроме того, использовано соотношение Q2 = (>.
Рассуждая далее так же, как в разделе А. 2, находим после соответствующей
симметризации по qlt q%
< т0 I {"ь Pi} [ ^0 > = 2Sp (ае) Sp (fte) + Sp [aqfiq2 (Qqt ~ Qqf^ 1, j •
(A- 23>
В заключение вычислим среднее от антикоммутатора одно- и двухчастичного
операторов. Имеем
< T.I {"2, Pi) |То > = у f dq{ dq2 dq3 dq\ dq\ dq'36 X
X 6 ("72 - Я2) й {% - %) aqiqfiqSS 1 + S-J-
Входящее сюда выражение
Si = (| {я2) К) Ф [vi) ^ Ы (^з) Ф W |>
путем перестановки оператора г|з+ налево может быть сведено к
матрицам
плотности
Si= [<^°2,3^ (^3 Яз) + 1,3* (^3 - 9з)] ^ (^1' Я 2' Я2) "b
+ R(ql. я2, <7з- я[, <?2' %)¦
Аналогично
Si = < ^0 | 'l'* (<?з) ^ Ы У* W2) ^ [Ь) 'Ф (<71) ^ Ы | > =
= [аР2' 36 (q2 q2) R q3, Я\> 9з) + ^з, [Я\ Я\) R {я2> ?з> ^2' ^з)] 'Т"
+ Я (<7ь Я 2' Ъ Я и Яъ %)¦
Переходя к шпуру, получаем <*.|{а.,|М1*0> =4sp{a,i?3 [2 (С1 -
^i.а) (г - з) - . з) X
Х (^°2,3 + ^°1,з) (] - ^1,2) Q2qtQqt + ^°2, 3 (* ~
^ 1, з) Х
хе2?А3+^1,з(1-^2,з)е2,3е?2Ц-
Заменяя в последних двух слагаемых
<^2,3 (! " ^ 1, з) -> (' 1,2) ^2,3- ^ 1.3С1 - ^°2,з) "* (!
-<5Р1,2) ^.,3.
получим окончательно
(ТоЦо*. PiJl^o) =Sp[a,(l-^1>2)e?ie"]Sp(6e) +
+ SP [%"Аз (" - ^1.2) e" (в?1 - е J2 ^1,3]- (А- 24)
Как видно из соотношений (А. 21) - (А. 24), среднее от произведения
операторов отнюдь не равно соответствующему произведению средних.
Дополнительные члены отвечают наличию так называемой обменной (или
статистической) корреляции между частицами, обусловленной антисимметрией
волновых функций, т. е. принципом Паули.
Б. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ОПЕРАТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Б. 1. На всем протяжении развития квантовой теории проявлялась тенденция
к явному операторному представлению величин, входящих в аппарат теории. В
качестве примеров можно назвать общие исследования статистической суммы в
квантовой статистике [132], теорию рассеяния Липпмана - Швингера [133],
теорию S-матрицы [134], статистическую теорию многих частиц.
323
Причиной перехода к операторной формулировке является, с одной стороны,
стремление к простоте и компактности, которыми отличаются операторные
выражения. С другой стороны, эти выражения описывают соответствующую
физическую величину в наиболее "чистом", инвариантном относительно
изменения типа представления виде. Наконец, операторная формулировка
явным образом отражает тот факт, что основным различием между
