Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
293
Приведем некоторые результаты, касающиеся вклада в давление обменных и
квантовых эффектов. Оказывается, что во всей области температур и
плотностей квантовая и обменная поправки к давлению отрицательны, причем
их отношение не превышает 1/3, В области вырожденного газа это отношение
составляет 2/9 (см. § 6), в области высоких Температур достигает
максимальной величины 1/3.
Что же касается самих выражений для квантовой и обменной поправок, то мы
ограничимся областью, где распределение может считаться однородным. В
этой области для отношения поправки к самому давлению имеем (i = 1, 2):
Здесь л; = Лр2 определяется из соотношения (30. 17); =
= I'/J'/, + (/'•/.)*. ^2 = 6 (/7J2; индекс 1 относится к квантовой, 2 - к
обменной поправке. В области низких температур
что соответствует результатам § б. В области же высоких температур
Соответствующие обменные поправки получаются отсюда простым пересчетом.
Полученные результаты могут быть использованы для выяснения области
применимости квазиклассического уравнения состояния вещества.
§ 31. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ теория возмущений
31. 1. Ограничиться приближением Хартри-Фока при решении статистической
задачи можно далеко не во всех случаях. Поэтому, как и в квантовой
механике, необходимо решить вопрос о способах учета корреляционного
взаимодействия между частицами.
Рассматривая выражение для функции Грина (29. 16), нетрудно видеть, что
взаимодействие между частицами входит в эФо выражение двояким образом. С
одной стороны, взаимодействие сказывается, на операторах фг, ф+, с другой
стороны, от него существенно зависит оператор ?, осуществляющий
статистическое
б (р
р
(30. 23)
б| Р
5
Р
18я (Зя2)'^3 Q1/sa0
299
усреднение. В дальнейшем будет сформулирован единый метод учета
взаимодействия в обоих его проявлениях.
В этом параграфе мы рассмотрим только статистический оператор ?. Помимо
изложения методических приемов, развитых впервые Матцубара [129], мы
получим возможность построить термодинамику системы взаимодействующих
частиц.
Рассмотрим выражение для статистического оператора
? = ехр [-р (7/- (31.1)
где операторы М и N взяты в представлениях вторичного квантования и
Шредингера и имеют вид, совпадающий с приведенным в § 3. В операторах
поля ф (q) и ф+ (q) в статистике удобно произвести разбиение на рождающую
и уничтожающую части иным образом, чем это было сделано в § 8. Именно,
положим
Ф (я) = 2 3Cv (Я) [(1 - У~У) "v + УУ Ь$],
V _ _ (31.2)
Ф+(<7) = 2 X* (?)[(1 - У nv) at + У "v К\ >
V
где nv = {ехр [р (ev - р) + I)'1. Операторы av, а+ и bv, b+
будем называть операторами частиц и дырок в следующем смысле.
При рассмотрении основного состояния системы, распределение частиц по
уровням которого давалось формулой nv = 0 (гр - ev), дыркой считался
свободный уровень ниже границы Ферми, частицей - выше границы Ферми. При
отличной от нуля температуре среднее заполнение частиц описывается
приведенным выше выражением для nv (Р). В этом случае уже нет четкого
разделения областей, где могут находиться частицы и дырки. В принципе на
каждом уровне имеется вероятность обнаружить как частицу, так и дырку.
Факторы ]/ nv и 1 - Уnv отражают это обстоятельство, переходя при р -> аз
в 0 (eF - ev) и 0 (ev - eF)*. "
Будем говорить о нормальном произведении операторов поля в том же смысле,
что и выше, принимая новое разбиение операторов на рождающую и
уничтожающую части. Легко видеть, что
Ф+ (Я') Ф (<7) = # [ф+ (q') ф (?)] + R (q, q'),
где R (q,q') - матрица плотности (30. 8). Аналогично обобщается
соотношение (8. 10) для N - произведения четырех операторов поля. Тем
самым оправдывается выбор коэффициентов Уnv и 1 -Уnv в выражении (31. 2).
* Необходимость введения корня из nv связана с тем, что оператор ttv
представляет собой билинейную комбинацию ф и ф+.
300
Полученные соотношения позволяют получить выражения
для гамильтониана и оператора числа частиц
Я = Я0 + Я', (31.3)
Я0 = Ео + 1 dqN [ф+ (q) (Т + W) ф (q)], (31.4)
Я' = 4 fdqdq'N [ф+ (q) ф+ (q') Цф (q') ф (q)}, (31.5)
N = N + J dqN [ф+ (q) ф (<7)]. (31. 6)
Здесь E0 - средняя энергия в приближении Хартри - Фока;
N - среднее число частиц в системе. Приведенные соотношения дают
разбиение полного гамильтониана системы на гамильтониан нулевого
приближения Я0 и гамильтониан возмущения Я'. Перепишем выражение (31. 1)
в виде
? = ехр[-р(Я0-|1Я+Я')]. (31. Г)
Если по величине |3, которую мы считаем переменной, формально
продифференцировать обе части выражения (31. 1'), то мы получим так
называемое уравнение Блоха
--| = (Я0-|лЯ+Я')?, (31.7)
которое аналогично уравнению Шредингера с заменой it -"¦ р. Из этой
аналогии и исходил Матцубара.
31. 2. Цель последующего изложения состоит в построении своеобразного
"представления взаимодействия по температуре", что позволит ввести
стандартную диаграммную технику для вычисления шпура оператора ?.
В пренебрежении корреляционным взаимодействием этот оператор имеет вид
?0(Р) = ехр[-Р(Я0-рЯ)]. (31.8)
