Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
потенциал системы, р - ее химический потенциал, Еп - энергия состояния с
числом частиц Nn.
При стремлении температуры к нулю (Р -> оо) из всей суммы по п остается
лишь один член, отвечающий наинизшему значению Еп\ при этом мы
возвращаемся к рассмотренному в предыдущих главах основному состоянию
системы *.
* Сказанное справедливо лишь при условии, что это состояние невырождено.
В противном случае получается сумма (с равными весами) выражений, каждое
283
С помощью введенных выше величин можно записать среднее значение любой
величины, относящейся к рассматриваемой системе и характеризующейся
некоторым оператором а
Усреднение здесь понимается в двояком (квантовомеханическом и
статистическом) смысле. Если ввести операторы Гамильтона Н и полного
числа частиц N, для которых имеют место очевидные соотношения
то выражение для (а) можно переписать в более удобной форме
отличающейся своей инвариантностью относительно выбора представления. (О
свойствах шпура и способах его вычисления см. приложение А.)
Термодинамический потенциал й может быть найден из условия нормировки,
для получения которого достаточно подставить в выражение (29. 2) единицу
вместо оператора а. Это даст
носящий название статистического оператора, и величину
называемую статистической суммой. Тогда соотношения (29. 2) и (29. 3)
перепишутся в виде
Последнее соотношение позволяет определить все термодинамические
характеристики системы *
из которых относится к одному из подсостояний. По этой причине нельзя
считать, что квантовая статистика включает в себя квантовую механику как
предельный случай.
* Соотношение (29. 7) дает Й как функцию объема V, температуры Т и
химического потенциала р. Последний выражается через среднее число частиц
N, Т и У с помощью третьего соотношения (29. 8). В этой главе объем
обозначается через V.
П
(H-En)wn = о, (лг-лд?" = о,
(а) = Sp {ехр [(3 (й - iiN - Н)] а},
(29. 2)
Й = р- In Sp ехр [(3(p./V - #)].
(29. 3)
Удобно ввести оператор
(29. 4)
Z = Sp (?),
(29. 5)
(29. 6)
Й = д- InZ.
Р
¦ (29. 7)
(29. 8)
284
где Р, S, N, Е -средние значения давления, энтропии, числа частиц, и
энергии системы соответственно [4].
29. 2. Помимо общих термодинамических характеристик системы
значительный интерес представляют также и более детальные ее
характеристики: всевозможные распределения средних значений, спектр и
затухание квазичастиц и т. д. Как и в случае равной нулю температуры,
соответствующая информация содержится в функциях Грина. В последующих
разделах этого параграфа мы подробно рассмотрим свойства функций Грина в
квантовой статистике.
В ряде случаев для вычисления распределений динамических переменных, т.
е. вероятностей обнаружения определенных их значений, оказывается удобным
использовать следующий прямой путь.
Пусть нас интересует вероятность обнаружения значения а величины,
описывающейся оператором а. Эта вероятность дается выражением
W (а) = SP fSsp"g7 аЛ ' (29' 9)
Чтобы убедиться в его правильности, возьмем шпур по системе функций,
являющихся собственными функциями оператора а. Тогда
2 <п I ? Iп > 6 (а - °п)
W (") = " v : ,м ч- • (29. Ю)
2j < П 1ь I п >
п
Среднее значение какой-либо функции а при этом определится с одной
стороны формулой
(/ (")) = I daf (а) W (а), с другой стороны формулой
У < п I ? I п ) f (ап)
/ f (а\\ SP \U (а)1 п ________________
•tfW/- sp(E) - 2<"I5I"> '
П
Совпадение обоих выражений при использовании равенства (29. 10)
подтверждает правильность выражения (29. 9). Нетрудно также убедиться,
что распределение (29. 9) имеет нужную нормировку.
Вместо выражения (29. 9) удобно рассматривать фурье-образ функции W (а),
который мы обозначим через А (д):
A(q) = J da exp (- iqa) W (a) =
_ Sp [g exp ( - iqa)\ ,9Q ...
Sp(?) ' 1 }
285
Если теперь вычислить производную
д In A (q) _ . Sp [g ехр (-iqa) а]
dq Sp [g exp ( - iqa)] '
то видно, что она с точностью до множителя совпадает со средним значением
оператора а по состояниям фиктивной системы, статистическим оператором
которой является величина ? ехр (-iqo). Такого рода средние обозначим
символом (. . Учитывая условие А (0) = 1, находим [124]
A {q) - ехр j - t j- d<7 ( а ) aJ. (29.12)
В качестве примера рассмотрим распределение числа частиц системы. При
этом выяснятся условия возможности пренебрежения флуктуацией числа
частиц. Полагая a = N и учитывая коммутацию операторов N и М, можно
написать
? ехр (- iqa) = ехр |р [(р - -у)^ - и\ (•
Таким образом, соотношение (29. 3) дает
= ^exp{"W-P [Q(|i-|-)-Q(|i)]}. (29.13)
Все сводится к вычислению термодинамического потенциала при комплексных
значениях аргумента, или, что то же, к аналитическому продолжению Q в
комплексную плоскость р [124].
Учитывая малость ~ ~ -щ- по сравнению с р и разлагая
выражение в квадратных скобках из соотношения (29. 13) в ряд
по получим
Q
Подставляя это разложение в (29. 13), получим гауссово распределение
Г(У) = (2я(АУ)2)-1/2ехр{---------------------}> (29-14)
