Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
i Im G с помощью соотношения (29. 21) в следующем виде:
оо
G [р, е) - j dE ImG [р, Е) X
- оо
X j- cth - ^(/ 2 ^ E- + ind (e - ?)}.
При T Ф О (P Ф со) слагаемые фигурной скобки нельзя объединить в виде
характерного ядра интеграла Коши. Такое объединение возможно для функции
G' [р, е) ^ Re G {р, ej - icth-^e~ - ImG (р, ej,
которая обладает теми же аналитическими свойствами, что и функция Грина в
квантовой механике. Иными словами, ее аналитическое продолжение в верхнюю
(при е > р) и нижнюю (при е <С р) полуплоскости комплексной переменной е
приводит к аналитическим функциям, не имеющим особенностей. Однако
аналитическое продолжение G' [р, ej в нижнюю (при е > р) и верхнюю (при е
< р) полуплоскости неизбежно приводит к функциям с особенностями. С точки
зрения местоположения этих особенностей и вычетов в них, безразлично,
продолжать ли
функцию G' или Im G'=- cth Im G. Особенности множителя cth ;
который приводит к отличию функций Im G
и Im G', находятся в точках е = р + 2uni, где п - целое число. К проблеме
отыскания характеристик квазичастиц эти особенности не имеют отношения,
отвечая "нулевой" энергии квазичастицы. Поэтому разница между функциями G
и G' по существу "отсутствует.
Развитые в § 23 соображения о физическом смысле особенностей
аналитического продолжения функции G могут быть полностью повторены в
применении к функции G'. Местоположение полюса аналитического продолжения
G' (или G) определяет закон дисперсии и затухания квазичастицы (или
элементарного возбуждения) при отличной от нуля температуре.
Соответствующая физическая информация о системе по существу та же, что и
в случае нулевой температуры. Необходимо только подчеркнуть, что
найденные описанным образом характеристики квазичастицы будут неизбежно
зависеть от температуры, поскольку такая
зависимость свойственна весовой функции а (р, ?). Поэтому чисто
механическая интерпретация квазичастиц, связанная с рассмотрением
энергетического спектра полного гамильтониана системы, оказывается
невозможной. Речь должна идти о некотором эффективном, статистическом
усредненном спектре возбуждений, описывающем слабо затухающие (при малой
величине декремента затухания) движения в системе.
В квантовой статистике часто используют также так называемые
"опережающие" и "запаздывающие" функции Грина [6, 126, 127], к числу
которых относятся, например, величины
Ga(\,2) = г0 (t2 tj SP .
Gr( 1, 2) - -i0(t1 - t2) -I"5 {'М1^**2)]]
Sp (Б)
Эти функции в отличие от G имеют те же аналитические свойства* что и
функция Грина в квантовой механике, и тесно связаны с функцией G'.
§ 30. ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ - ФОКА В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ
30. 1. Практическое использование приведенных в предыдущем параграфе
общих соотношений предполагает решение динамической задачи с учетом
взаимодействия между частицами. Эта задача (исключая случай очень высоких
температур) не легче, чем в квантовой механике. Поэтому, как и в случае
равной нулю температуры, следует начать с выбора нулевого приближения, в
качестве которого удобно взять приближение Хартри-Фока.
Переход к этому приближению осуществляется путем отыскания наилучшего из
одночастичных приближений, т. е. требуется, чтобы норма разности точного
и одночастичного гамильтонианов, усредненная по интересующему нас
состоянию системы, имела минимальную величину. В квантовой статистике
фигурирует не одно, а фактически все состояния системы. Поэтому встает
вопрос о смысле, который следует вложить в понятие "наилучшее
приближение".
В принципе можно было бы требовать наилучшего описания каждого из
состояний, фигурирующих в статистических формулах (см. раздел 29. 1.).
Каждому из этих состояний тогда соответствовало бы свое самосогласованное
поле. Однако такой подход привел бы к нарушению мультипликативности
матриц плотности высшего порядка (см. приложение А) и оказался бы в
противоречии с предъявляемым к нулевому приближению непременным
требованием математической простоты.
291
Поэтому под приближением Хартри-Фока в квантовой статистике обычно
понимают более грубое приближение, сводящееся к введению единого для всех
конфигураций Wn статистически усредненного самосогласованного поля.
Такому подходу отвечает требование минимума статистического среднего от
нормы разности точного гамильтониана Н и одночастичного //0:
<(#-tf0)2)0 = min, (30.1)
где символ (.. ,)0 означает усреднение в одночастичном приближении
/ \ _ Sp [g0 (. . .)] ]
¦ Sp (go) ' (30.2)
go = exp[P(pjV - #")]. j
Как и в гл. II, выберем Н0 в виде
H0 = jdq^(q)(T + W) ф (q) + С.
Тогда оператор ?0 можно записать в форме
So -= ехр РС р 2 (р -- ev) ;
где ev - энергия одночастичного состояния (Т + W) %v(q) = ev%v(q).
Здесь мы пока не переходим к дырочному описанию.
Выведем правила усреднения с помощью оператора g0. Имеем
(AfiAv)о 6^v {AvAv}0
где
Аналогично
Р Sp(Ea)
So ^ g0 ехР (РО-
(А+А+АоАх)0 -
= 8 -б б ) -.I-^-ev Р
VuVCTuHt VT ^10/ рг gp
и т. д. Все сводится к вычислению статистической суммы Z0 = = Sp (go)-
