Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 120

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 127 >> Следующая

другом) коммутаторы типа [а [а . . . [а, Ь] . . . ]].
Тогда
дК
= [а, К] + т [а, Ь] К.
Полагая К = ехр (ат) L ехр (- ат), найдем
¦ ехр ^ j dt t ехр (- at) [a, b] ехр (at)
В частности, при fab] = Xb получаем
ехр , 1 - ехр (- Хт) (1 + Хт)
Учитывая соотношение ехр (ат) f (b) ехр (-ат) = f (ехр (Хт) Ь), легко
проверяемое разложением в ряд по Ь, находим окончательно
Е (т) = ехр рх? ---------- bj ехр (та). (Б. 8)
Б. 4. Даже если отличны от нуля все коммутаторы, есть случай, допускающий
простое решение.
Коммутирование можно рассматривать как операцию, действующую на
множестве, в которое входят операторы а и Ъ и все их коммутаторы. Если
это множество фактически окажется конечным, то при последовательном
коммутировании мы будем возвращаться к уже имеющимся элементам.
Рассматриваемая операция будет иметь циклический характер.
Естественно, что при этом можно разложить искомую функцию по элементам
множества и задача сведется к нахождению конечного числа соответствующих
коэффициентов разложения [43, 137].
Пусть, например, имеют место соотношения *
[а, Ь] = с, [а, с] = - Ха, [Ь, с] = ХЬ.
Наше множество состоит из трех элементов: а, Ъ и с. Соответственно
этому ищем
решение в виде
Е (т) = ехр [а (т) bj ехр [р (т) с] ехр [у (т) а], (Б.9)
где а, Р и у - неизвестные функции т. Дифференцируя это
выражение по Т,
получим
а + b = а' (т) b + Р' (т) ехр (аЬ) с ехр (- аЬ) +
+ у' (т) ехр (ab) ехр (Рс) а ехр (- рс) ехр (- аЬ).
Используя далее коммутационные соотношения и сравнивая коэффициенты при
одинаковых операторах, найдем
у' (т) = ехр (- Хр), Р' (т) = а, а' (т) = 1 - Ха2/2.
* Попарные коммутаторы трех операторов нельзя задавать независимо, так
как необходимо выполнить тождество Якоби
[[а, Ь], с] + [[Ь, с], а] + [[с, а], Ь] = 0.
326
Решения этих уравнений, обращающиеся в нуль при т = 0, имеют вид
th
Inch
(Б. 10)
Соотношения (Б. 9) и (Ь. 10) решают поставленную задачу.
Рассмотренный пример отвечает квантовомеханической задаче об осцилляторе.
Действительно, в этом случае
Мсо2ха Й2со2 Л , л д
( 1 + 2х -
Pi

2Й'2 ш2
2 ' ' 2 \' 1 "" дх
Вычислим, пользуясь полученными формулами, следующую величину:
ехр
_Е_

М со2л'2
[Т ( 2М 1 2
= [ch (Йсот)]"'/гехр [ (
ехр (ipx) ~

Мш2х*
(Б. 11)
X ехр
ipx
ch (Й!ОТ)
I
-J
С ее помощью может быть решен целый ряд задач, относящихся к осциллятору.
При вычислении выражения (Б. 11) нам пришлось иметь дело с функцией
Развиты(r) выше аппарат в принципе
от произведения операторов ехр
применим и в этом случае. Однако проще использовать следующий
искусственный прием. Используя новую переменную In х, приводим оператор к
виду обычного-оператора смещения
0Хр {kx~§x) f W бХр \k д (In х) j / [ехР <1п -у)1 = / fexP (^) -у]- (Б-
12>
Таким образом, оператор ехр ^kx^j играет роль оператора изменения
масштаба.
Б. 5. В общем случае все коммутаторы а и b отличны от нуля и образуют
бесконечное множество. Решение задачи при этом становится крайне сложным.
Положение упрощается, если задача содержит малые параметры.
Пусть например, роль коммутаторов высшего порядка уменьшается с
увеличением их сложности. Тогда можно искать разложение искомой функции в
ряд по коммутаторам возрастающей сложности.
Каждый член этого ряда представляет собой в общем случае произведение
отдельных коммутаторов. Порядком члена ряда будем называть полное число
коммутаций, содержащихся в этом члене. Так, [Ь, [Ь, а]] и [Ь, а]2 имеют
порядок, равный двум.
Обозначая через Q^1 коммутатор (п -)- т)-то порядка
а [а . . . [а [Ь . . . [Ь, а] . . .]].
и через Кп - совокупность всех членов п.-го порядка в операторе К, можно
получить из выражения (Б. 3) следующее рекурентное соотношение:
"Ж "
дх
- [a, Kn_i] +
(- т)А
к\
k=\
Несложное вычисление с учетом К0= 1 дает [46]
327
K! = --^Q(r); (Б. 13)
K2=-f (q0_q|)+^(q0)2; (БЛ4)
Кз = - W (Q3 ^- Q2 + Ql) + Ш (3Q1Q? +
+ 7Q(r)Qj - 4Q°Q° - 6Q°Q°) - J (Q°)3; (Б. 15)
K' = ш (°2 ~ "1 " Оз + Q") + m [ 3Ф? + 10 (Qj)- 4 + 12Q°Q2 - 4QjQ° -
9Q°Q' - 6Q'Q° - 16Q"q; +
+ 5Q"Q° + 10 (q°)2 + 1OQX] + jJo [ 15Q° W ~
- HQ?QjQ? - 19 (q?)2q} + 8 (q?)2q§ +
+ 12Q?Q°Q? - 5Q' (Q°)2] + gg (Q°)4. (Б. 16)
И Т. Д.
Чтобы перейти к разложению в ряд по коммутаторам функции f, (а
+ Ь),
достаточно заметить, что, согласно выражению (Б. 1), параметр т
играет роль
оператора дифференцирования функции f по ее аргументу. Поэтому,
ограничиваясь для простоты членами второго порядка, будем иметь
/(a-f b) = f|8 + b)-lf(a + b)[b, а] +
4- ~Г"(а + Ъ) {[b[b, а]] - (a [b, а]]} + -L flv (а + Ь) [Ь, а]2 + . . .
(Б.17}
Здесь, как и выше, число а в аргументе функции / и ее производных
представляет собой собственное значение оператора а, отвечающее функции,
на которую действует f (а 4 Ь).
Б. 6. Если один из аргументов нашей функции мал по сравнению с другим, то
мы приходим к задаче, являющейся операторным аналогом теории возмущений и
состоящей в разложении f (а + Ь) в ряд по малому аргументу. Получающаяся
при этом формула отличается от ряда Тейлора членами, зависящими от
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed