Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
коммутаторов.
Сначала рассмотрим разложение по Ь. Полагая Е (т) = L (т) ехр (та),
д ифференцируя это соотношение по т и обозначая через L" член "-го
порядка по Ъ, получим
<5L т
¦ д "¦ = ехр (та) b ехр (- та), L" = f dtL"_i exp (ta) b exp (- ta).
T 0
Учитывая, что L0= 1, найдем [134]
x
E (т) = exp (та) + j dt exp (ta) b exp [(т - /) a] + . .. (Б. 18)
0
328
Это выражение может быть представлено и в другом виде
Е(х)= 1 + тЬ +
ОО
2-
л=1
п+1
(я+1)!
а [а. . . [а, Ь] . .
¦ ехр (та).
Из приведенных соотношений могут быть найдены и члены высшего порядка.
Аналогично может быть получено и разложение по а
х
Е (т) = ехр (тЬ) + j dt ехр [(т - t) b] а ехр (/Ь) + . . . (Б. 18')
о
Для обратной функции можно использовать простую формулу
(а + b)-1 = (1 + а-Ч))-1 а"1 - ^ (- 1)" (a"Ib)" a_1- <Б- 19)
п=О
Рассмотрим теперь дифференцирование функции Е% (т) - ехр [т (а + ЯЬ) | по
параметру Я. Исходим из определения
дЕх(х)
дХ
6Я
[?я+бя(т)-?я(т>]
и разлагаем экспоненту в ряд по 6Я. В результате получаем
дЕХ (т) дХ
f dtEx (t) ЬЕх (т - t).
(Б. 20)
Учитывая далее, что Е% (т - t) = Е\ (-t) Е% (т) и
во
tn
Ex(t) bEx(~t) -
( , a + ЯЬ [a + ЯЬ. . . [a -f ЯЬ, b] . . .]J , находим
dEx(x)
dX
xb -f-
rn+1
n=1
(n + 1)!
a. + ЯЬ [a + ЯЬ . . . [a + ЯЬ
, b] . . .]]
Ex(r)
. (Б.21)
Это так называемая левая производная. Заменяя в выражении (Б. 20) t t +
т, определим и правую производную
dE}, (х) дХ
Ех (т) i тЬ
S [а + +"w> • • • [а + ЯЬ, Ь] . .
.]] [. (Б. 22)
П = 1
Более сложные правила, относящиеся к релятивистским задачам, можно найти
в работе [43].
329
В. ИНТЕГРАЛЫ ОТ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ
В. 1. В теории многих частиц нередко приходится сталкиваться с
интегралами от сингулярных функций, обращающихся в бесконечность в
области интегрирования. Такие Интегралы удобно представить в виде
I = г dx-^4-, (в. 1)
J Ф(х) ' '
- оо
где F (х) - регулярная в области интегрирования функция, а ф (xt-) = 0 (?
= -= 1,2...). Точки х,- представляют собой точки сингулярности
рассматриваемой функции.
Такого рода интегралы не являются определенными величинами; необходимы
специальные дополнительные условия, указывающие, в каком смысле следует
понимать соответствующие полюса (или, как говорят, каковы правила их
обхода).
Неопределенность интегралов от сингулярных функций является следствием
1
неопределенности самой сингулярной функции -в точках х,, в которых зна-
Ф \Х)
чение функции полностью неоднозначно. Можно положить
1
-- X ф X;
, ф(т)
ФМ I л,
где А{ - некоторые совершенно произвольные величины. Это выражение можно
представить в виде суммы так называемого главного значения сингулярной
функции
1
- у =? х.:
(В. 2)
Ф (х)
0 X - Х(
0 X Ф xt
М X = Xi.
ф (х)
и функции
D -^ (В.З)
ф (х)
Сингулярную функцию следует рассматривать как обобщенную, т. е. нас
интересуют не значения этой функции, а результат интегрирования ее с
произвольными весовыми функциями F (х). Поэтому, если величины At
конечны, то
вклад функции D - в интеграл равен нулю, и фактически сингулярная функция
не отличается от своего главного значения. Реальный интерес представляет
случай, когда величины Л; бесконечны, причем соответствующий интеграл по
малой окрестности точки х,- вносит конечный вклад.
Вводя 6-функцию 6 (х - х/), которая равна нулю при х ф х; и интеграл от
которой по любой малой окрестности точки х; равен единице, можно написать
следующее выражение для функции (В. 3):
°^у==2аг6(мг)' (В-4).
i
где ai - по-прежнему произвольные величины *.
Чаще всего сингулярная функция имеет полюса первого порядка, т. е. ф'
(х() Ф 0. Тогда последнее соотношение можно переписать в виде
О-да - >11*)" to W1,
* Хотя на первый взгляд в соотношение (В. 4) можно ввести еще производные
6-функции, на самом деле дифференцирование можно перебросить на функцию
F.
330
где А - произвольная функция, не имеющая нулей и полюсов в точках х,-. В
самом деле,
А (хс)
А (х) в [Ф (х)] = ^ ¦ | ,:т^|)Г в (х - Xiy,
Л
отождествляя -j-- с а,-, мы возвращаемся к соотношению (В. 4).
Итак, окончательный наиболее общий вид сингулярной функции можно
получить, полагая
1
ф (х)
^к=р^^Л(л)й[(р/л')!- <в-5>
Если рассматриваемая функция не имеет полюсов вообще, то получается
тождество 1/ф = 1/ф.
В. 2. Функции Р -- и 6 (ф) можно записать в явном виде, используя
некоторый предельный процесс
Р - = lim " , (В. 6)
Ф а-"о Ф2 + б2 J
- . , .. 1 б
б (ф) = lim " , -ту ¦ (В. 7)
6->0 л Ф л- б2
Для доказательства рассмотрим значения обеих частей этих соотношений
сначала
в точках х Ф х,-. При этом ф Ф 0 и в пределе величина (В. 6) дает -, а
величина
(В. 7) -¦ нуль, что находится в соответствии с определениями
рассматриваемых функций. Что же касается точек лу, где ф = 0, то
в согласии с выражением (В. 2)
Р --г = 0, а 6 [ф (х,-)1 = -г- -у оо. При этом интеграл *
ф(Xj) ло
*1+Ь *,-+Р
J йх6[ф(х)] = J dx- ^
Ф2 <х) +
оказывается равным, как это и должно быть, ----, в чем легко убедиться
6
полагая ф (х) = ф' (хг) (х - х,) и делая замену х = х, -}- -|----j-.
