Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы сосредоточимся на гиперлогарифмах, построенных по специальным 1-формам
По = —±=- и O1 = -J= —. (11.13)
27Г\/—T S 2тг^1 S- 1 v '
Итерированные интегралы формы Oq (или fil) могут быть легко вычислены. Например, индукцией по к мы получаем
/
J а
>к 1 6
к
siS = (W=TM1V <1Ы4а)
и
' >fc 1 Л 1 -ьхк
J
Ja
fif = --7=77— In -- , (11.14b)
1 (2яУ=ї)Ч! Ii-'' ( >
если 0 < а < b < 1.
Теперь, как и в (11.11), (11.12), мы хотим рассмотреть «смешанные» итерированные интегралы J1 ... шп, в которых каждая из форм Wi,... ,шп есть либо По) либо O1. Если uj\ = Пі или если шп = По) то интеграл Jq1 ші ... UJn расходится. Однако он сходится во всех остальных случаях. Положим
r(pi,qx,... ,Рк,Чк)= Г Ag1Af... (11.15)
Jo
где pi,qi, ¦ ¦ ¦ ,PkiQk — натуральные числа. Сейчас мы вычислим итерированные интегралы (11.15) в терминах рядов, напоминающих дзета-функцию Римана.
Для этого мы введем в рассмотрение сходящиеся ряды
_ хтк
L(h,... ,ik-x) = 2^ —-jj-, (11.16)
0<mi<...<mfc 771I ' • - 771*:
где її,... ,ік — натуральные числа, х — вещественное число такое, что О <г < l,ami,... , mk пробегают множество натуральных чисел. Специальный случай L(n; х) есть п-й полилогарифм, который встречается 19.11. Добавление. Итерированные интегралы
603
в теории чисел, геометрии и алгебраической Х-теории. В случае п = 1 мы имеем
Exm Гх
— = - 1п(1 - я) =-2тгл/=Т / fti. (11.17)
т JO
О <тп
Дифференцирование L(i\,... ,дает
dL(ii,... ,ik-i,ik',x) _ Lji1,... ,ik-i,ik - 1;ж) dx X '
когда ik > 1. Значит,
У/. . .ч Г L(h,... ,ik-i,ik - i;s) , /11104
L(4,... ,ik-i,ik]x) = / -ds. (11.18)
Jo S
Если, ik = 1, то мы имеем
dL(h,... ,ik-i, l;x) _ Xmt"1
dx . z^ m*i ... m**-»
0<mi<...<mt_i<mj. "4 • • • '"fc-1
Положим m = пік — тпк-1 — 1 ^ 0. Тогда будем иметь
dL(h,... ,ik-i, 1;д) = v^ ^m v^ Xm^ _
dx Z-^x 2^, ii ik-1
m^O 0<ті<...<т^_і 1 • • ¦ '"fc-l
_ Ljii,... ,ik-i;x) 1-х
Отсюда следует, что
Ь(і1г... ,Xk-UliX) = ГЦІu--->ik-i;s)ds. (11.19)
Jo
Определим многомерные дзета-значения ?(?!,... ,ik) как
С(гь... ,Zfc) = L(h,... ,г*;1)= ? -(11-20)
0<mi<...<mt mI * * -mk
В частном случае С(гі) совпадают со значениями дзета-функции Рима-на в целых положительных точках н. Простая индукция с использованием (11.15)-(11.20) позволяет выразить смешанные итерированные 604
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
интегралы т(рі,9і,... ,Рьqk) через многомерные дзета-значения. Точнее, мы получаем
т(рі,9ь... ,Pk, 9k) = {2ir^)Pl+gi+...+Pk+gk х
X ?(1, . . . , l,pk + 1, 1, . . . , 1 + 1, . . . , 1, . . . , 1,Р1 + 1), (11.21)
где первая цепочка из единиц имеет длину qk — 1, вторая — qk-\ — 1, • • ¦ , и последняя имеет длину Qi — l. В частности, если q\ = ... = qk = 1, то мы получаем выражение многомерных дзета-значений через смешанные итерированные интегралы (11.15), а именно
<(il, ¦¦¦,»*) = (-l)k(^V=l)il+-+ik r(ik - 1, 1, - 1, 1, . . . , H - 1, 1).
(11.22)
Как следствие (11.3), мы получаем инверсионную формулу
т(рі,9і,... ,Pk,qk) = (-l)pl+Ql+-+Pk+4kT(qk,pk,... ,quPl). (11.23)
Соотношения (11.21)-(11.23) влекут ?(1,2) = ?(3). Мы использовали последнее соотношение при выводе следствия 6.5. Глава 20
Послесловие.
Универсальный инвариант узлов
В параграфе 1 мы вводим понятие инварианта узла конечного типа и доказываем, что таковыми являются все известные нам полиномиальные инварианты. Затем мы даем конструкцию универсального инварианта узлов Z(K) конечного типа со значениями в коммутативной алгебре, построенной по парам точек на окружности. Мы показываем также, что квантовогрупповые инварианты из параграфа 17.3 можно получить из Z(K) с помощью простой комбинаторики. Доказательство этого факта, так же как и построение инварианта Z(K), использует формализм KZ-уравнений и результаты Дринфельда, сформулированные в параграфе 19.4.
Развитие этих новых замечательных идей достигло к настоящему времени той стадии, на которой происходит упрощение и прояснение, что позволяет нам завершить эту книгу кратким обзором.
20Л. Инварианты узлов конечного типа
Начнем с понятия сингулярного узла. Рассмотрим некоторое погружение / окружности S1 в 3-мерное ориентированное евклидово пространство R3. Предположим, что для всех точек т из образа / полный прообраз f~1(m) состоит из одной или двух точек. Если прообраз — одна точка, то т называется простой точкой, а если две — то т называется двойной точкой. Мы ограничимся рассмотрением погружений с конечным числом двойных точек и таких, что угол пересечения в каждой двойной точке ненулевой. Мы предполагаем также, что образ / снабжен ориентацией. Эти условия определяют сингулярный узел. Если сингулярный узел снабжен оснащением (определение которого дало 606
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
в параграфе 10.8), то мы говорим, что этот сингулярный узел оснащен. Сингулярные зацепления и оснащенные сингулярные зацепления определяются как погружения конечного числа окружностей с такими же ограничениями на особенности. Как и обычные узлы и зацепления (см. параграф 10.3), сингулярные узлы и зацепления представляются плоскими диаграммами. Очевидным образом вводится также понятие изотопии, обобщающее определение из параграфа 10.1.
