Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 169

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 199 >> Следующая


585

Предложение 19.6.4. Мы имеем Ф(Д2?) = /(Г) =

= 1 + ? E лр1+"+^!,?!,... ,рк, qk)f{A*B*... АРЬВОЬ).

к^ 1 pi,91v ,pk,як

Доказательство. Применяя отображение / к обеим частям соотношения из леммы 6.3, мы получаем

f(3>) = f{lima-nBGa(l-a)ahA).

а—>0

Так как f(BM) = f(MA) = 0, мы имеем

/(Ф)=/( Iim Ge(I-O))=/(Г).

Для завершения доказательства достаточно проверить, что /(Ф) = Ф. Пусть Но (соответственно Н\) получено из решения Go (соответственно из Gi) из (6.1) заменой А на А — а и В на В — ?. Очевидно, что Но и Hi являются решениями дифференциального уравнения

Кроме того, Hq имеет в окрестности точки 0 асимптотику гп(А~аУ Далее, функция 2ГЛа(1 - z)~n?Go{z)

также является решением уравнения (6.12) с той же асимптотикой, что и Hq. Из теоремы единственности мы получаем

H0(z) = z~ha( 1 - z)~h?Go{z). (6.13)

Аналогично,

Hi(z) = z-t^i 1 - z)-h?Gi{z). (6.14)

Из (6.13), (6.14) вытекает, что

Ф (A-a,B-?) = H^1H0 = Gf1G0 = Ф (А, В). Следовательно,

/(Ф(А, В)) = Г(Ф(А -a,B-?)) = Г(Ф(А, В)) = Ф(А, В). ? 586

Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова

Как следствие предложения 6.4 и формул (11.21)-(11.23) из параграфа 11, мы получаем следующее выражение для первых членов ряда

Ф (A1B).

Следствие 19.6.5. С точностью до /і4 мы имеем

Ф(А "1 - (^?)^'51 + (^rpВ1В]-Б]]) ^

Здесь ( есть дзета-функция Римана. Из формулы Эйлера ?(2) = = 7г2/6 мы видим, что коэффициент при h2 в разложении Ф(Д В) равен

Замечания 19.6.6. (а) Если AB = BA, то любой моном M Ф 1 в (6.10) можно записать в виде «расходящегося» монома, а значит, обнуляющегося под действием /. Следовательно, в этом случае Ф(А, В) = 1.

(б) В работе [Dri90, §2] Дринфельд показал, что Ф(А, В) является экспонентой от некоторого ряда Ли. Он получил следующую формулу для логарифма 1пФ ряда Ф(А,В) по модулю L" = [[L,L],[L,L]}, где L есть пополнение свободной алгебры Ли, порожденной А и В\

hi<S>=Ycki&d(B)l*d(A)k{A,B}hk+l+2 (mod L"). (6.15) к,0

Комплексные коэффициенты Ckl вычисляются по производящей функции:

1 + E v+1 = exP (E П{21%)п К+V» - (Ц+V)")). (6.16)

Из (6.16) мы получаем скі = сік и ск0 = с0к = -((к + 2)1(2ж^Л)к+2 для всех к ^ 0.

19.7. Построение топологической сплетенной квазибиалгебры A0it

Для построения A0it мы должны найти элемент Ф = Фкг € U(o)®3[[/i]], удовлетворяющий соотношениям (16.4.10)-(16.4.13) и (16.4.15)-(16.4.17) 19.7. Построение топологической сплетенной квазибиалгебры ABit

587

для r = Rkz = ght/2. Элемент $kZi который мы ищем, также должен задавать представление монодромии для (KZ)-cncTeM. Мы будем действовать так же, как в [Dri89b, с. 1453-1455], [Dri90, параграф 2] и [Dri89c].

Мы видели в параграфе 3, что вид универсальной Л-матрицы Rkz = eht!2 алгебры ag t навязывается нам монодромией системы (KZ2). Элемент Фкг будет сейчас получен из системы (KZ3). В параграфе 6 мы ввели формальный ряд Ф(А, в) от двух некоммутирующих переменных а и в. Мы используем его для определения Фкг-

Определение 19.7.1. Положим Фкг = Ф(^12,^2з)-

Мы утверждаем, что Фкг Є U(o)®3[[ft]] удовлетворяет всем требованиям определения топологической сплетенной квазибиалгебры применительно к

А.,' = {U(9)[[h]},A,e^KZ,RKZ = ем>2). (7.1)

Доказательство этого утверждения будет кратко изложено в параграфе 8. Мы утверждаем также, что agt порождает монодромию всех систем Книжника-Замолодчикова. Мы уже проверили это для (KZ2) в параграфе 3.

Рассмотрим решение w{z1,... , zn) системы (KZn). По определению оно удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений с частными производными:

pL = H ,Zn) (і = 1,... , n), (7.2)

где h = h/(гтгл/^Т).

Лемма 19.7.2. Если w(z\,... ,zn) —решение уравнений (7.2), то оно удовлетворяет также соотношениям

П п п „

Edw Ow . v-^ ,

q- = o и 2^zid7.=n Ujwiz1,... ,zn).

і=1 1 1=1 1 1

Доказательство. Это следует из (7.2) и равенства Uj = tji. ? 588

Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова

Как следствие этой леммы решение w уравнений (7.2) зависит от п — 2 переменных. В частности, решение w(zi, z2, Z3) системы (KZ3) зависит от одной переменной г. С этого момента мы сосредоточимся на (KZ3) и сделаем замену переменных

W(ZUZ21Z3) = (Z3 - Z1 )А('12+Ьз+*1з)ед> (7.3)

где Z = (z2- Zl)/(z3 - Zl).

Лемма 19.7.3. В данных выше обозначениях w(zi, z2, z3) является решением системы (KZ3) тогда и только тогда, когда G(z) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения

G'(z)=n(^f +J^j G(z). (7.4)

Доказательство. Соотношение (7.3) и уравнение

dw ( ti2 , t23 \

= fi -+- w(zi,z2,z3)

oz2 \z2-zi z2-z3J

означают, что

(Z3 - ~АШІ2+І2Я+І13) G'(Z) = Z3 - Zi

= h( + (z3 - zi)h^+t2*+t^G(z).

\ z2 - zl z2-z3j

Из того, что (z2 — z3)/(z3 — zi) = z — їй (i 12 + t23 + ti3) коммутирует C ti2 и t23, мы получаем

(Z3 - Zl)^2+t23+tl3) + J^j G(Z)) = 0.

Следовательно, G(z) удовлетворяет уравнению (7.4). Обратно, легко проверить, что если G(z) есть решение уравнения (7.4), то w(zi,z2,z3) является решением (7.2). ?
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed