Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
585
Предложение 19.6.4. Мы имеем Ф(Д2?) = /(Г) =
= 1 + ? E лр1+"+^!,?!,... ,рк, qk)f{A*B*... АРЬВОЬ).
к^ 1 pi,91v ,pk,як
Доказательство. Применяя отображение / к обеим частям соотношения из леммы 6.3, мы получаем
f(3>) = f{lima-nBGa(l-a)ahA).
а—>0
Так как f(BM) = f(MA) = 0, мы имеем
/(Ф)=/( Iim Ge(I-O))=/(Г).
Для завершения доказательства достаточно проверить, что /(Ф) = Ф. Пусть Но (соответственно Н\) получено из решения Go (соответственно из Gi) из (6.1) заменой А на А — а и В на В — ?. Очевидно, что Но и Hi являются решениями дифференциального уравнения
Кроме того, Hq имеет в окрестности точки 0 асимптотику гп(А~аУ Далее, функция 2ГЛа(1 - z)~n?Go{z)
также является решением уравнения (6.12) с той же асимптотикой, что и Hq. Из теоремы единственности мы получаем
H0(z) = z~ha( 1 - z)~h?Go{z). (6.13)
Аналогично,
Hi(z) = z-t^i 1 - z)-h?Gi{z). (6.14)
Из (6.13), (6.14) вытекает, что
Ф (A-a,B-?) = H^1H0 = Gf1G0 = Ф (А, В). Следовательно,
/(Ф(А, В)) = Г(Ф(А -a,B-?)) = Г(Ф(А, В)) = Ф(А, В). ?586
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Как следствие предложения 6.4 и формул (11.21)-(11.23) из параграфа 11, мы получаем следующее выражение для первых членов ряда
Ф (A1B).
Следствие 19.6.5. С точностью до /і4 мы имеем
Ф(А "1 - (^?)^'51 + (^rpВ1В]-Б]]) ^
Здесь ( есть дзета-функция Римана. Из формулы Эйлера ?(2) = = 7г2/6 мы видим, что коэффициент при h2 в разложении Ф(Д В) равен
Замечания 19.6.6. (а) Если AB = BA, то любой моном M Ф 1 в (6.10) можно записать в виде «расходящегося» монома, а значит, обнуляющегося под действием /. Следовательно, в этом случае Ф(А, В) = 1.
(б) В работе [Dri90, §2] Дринфельд показал, что Ф(А, В) является экспонентой от некоторого ряда Ли. Он получил следующую формулу для логарифма 1пФ ряда Ф(А,В) по модулю L" = [[L,L],[L,L]}, где L есть пополнение свободной алгебры Ли, порожденной А и В\
hi<S>=Ycki&d(B)l*d(A)k{A,B}hk+l+2 (mod L"). (6.15) к,0
Комплексные коэффициенты Ckl вычисляются по производящей функции:
1 + E v+1 = exP (E П{21%)п К+V» - (Ц+V)")). (6.16)
Из (6.16) мы получаем скі = сік и ск0 = с0к = -((к + 2)1(2ж^Л)к+2 для всех к ^ 0.
19.7. Построение топологической сплетенной квазибиалгебры A0it
Для построения A0it мы должны найти элемент Ф = Фкг € U(o)®3[[/i]], удовлетворяющий соотношениям (16.4.10)-(16.4.13) и (16.4.15)-(16.4.17)19.7. Построение топологической сплетенной квазибиалгебры ABit
587
для r = Rkz = ght/2. Элемент $kZi который мы ищем, также должен задавать представление монодромии для (KZ)-cncTeM. Мы будем действовать так же, как в [Dri89b, с. 1453-1455], [Dri90, параграф 2] и [Dri89c].
Мы видели в параграфе 3, что вид универсальной Л-матрицы Rkz = eht!2 алгебры ag t навязывается нам монодромией системы (KZ2). Элемент Фкг будет сейчас получен из системы (KZ3). В параграфе 6 мы ввели формальный ряд Ф(А, в) от двух некоммутирующих переменных а и в. Мы используем его для определения Фкг-
Определение 19.7.1. Положим Фкг = Ф(^12,^2з)-
Мы утверждаем, что Фкг Є U(o)®3[[ft]] удовлетворяет всем требованиям определения топологической сплетенной квазибиалгебры применительно к
А.,' = {U(9)[[h]},A,e^KZ,RKZ = ем>2). (7.1)
Доказательство этого утверждения будет кратко изложено в параграфе 8. Мы утверждаем также, что agt порождает монодромию всех систем Книжника-Замолодчикова. Мы уже проверили это для (KZ2) в параграфе 3.
Рассмотрим решение w{z1,... , zn) системы (KZn). По определению оно удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений с частными производными:
pL = H ,Zn) (і = 1,... , n), (7.2)
где h = h/(гтгл/^Т).
Лемма 19.7.2. Если w(z\,... ,zn) —решение уравнений (7.2), то оно удовлетворяет также соотношениям
П п п „
Edw Ow . v-^ ,
q- = o и 2^zid7.=n Ujwiz1,... ,zn).
і=1 1 1=1 1 1
Доказательство. Это следует из (7.2) и равенства Uj = tji. ?588
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Как следствие этой леммы решение w уравнений (7.2) зависит от п — 2 переменных. В частности, решение w(zi, z2, Z3) системы (KZ3) зависит от одной переменной г. С этого момента мы сосредоточимся на (KZ3) и сделаем замену переменных
W(ZUZ21Z3) = (Z3 - Z1 )А('12+Ьз+*1з)ед> (7.3)
где Z = (z2- Zl)/(z3 - Zl).
Лемма 19.7.3. В данных выше обозначениях w(zi, z2, z3) является решением системы (KZ3) тогда и только тогда, когда G(z) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения
G'(z)=n(^f +J^j G(z). (7.4)
Доказательство. Соотношение (7.3) и уравнение
dw ( ti2 , t23 \
= fi -+- w(zi,z2,z3)
oz2 \z2-zi z2-z3J
означают, что
(Z3 - ~АШІ2+І2Я+І13) G'(Z) = Z3 - Zi
= h( + (z3 - zi)h^+t2*+t^G(z).
\ z2 - zl z2-z3j
Из того, что (z2 — z3)/(z3 — zi) = z — їй (i 12 + t23 + ti3) коммутирует C ti2 и t23, мы получаем
(Z3 - Zl)^2+t23+tl3) + J^j G(Z)) = 0.
Следовательно, G(z) удовлетворяет уравнению (7.4). Обратно, легко проверить, что если G(z) есть решение уравнения (7.4), то w(zi,z2,z3) является решением (7.2). ?