Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Если, кроме того, инфинитезимально сплетенная категория S обладает левой двойственностью V V* со структурными отображениями 20.6. Интегрирование инфинитезимально сплетенных категорий
621
by: I —)• V ® V* v. (Ну: V* ® V —> I (которые определены в параграфе 14.2), то инфинитезимальное сплетение имеет вид
tv,w = ^ (Cv®w -Cv® id w - idy ® Cw), (4.5)
где (Су ¦ V —> V)v есть семейство естественных эндоморфизмов в категории S, заданных формулой
Cv = - (idv ® (dv о tv,v)) о (by ® idy). (4.6)
Приведем примеры инфинитезимальных сплетений. Мы знаем, что если H = (Н, А, є, S) есть кокоммутативная алгебра Хопфа, то категория //-модулей H-Mod является симметрической тензорной категорией с переставляющим отображением в качестве симметрии. Пусть Prim(Zf) — линейное пространство примитивных элементов алгебры Н. Инфинитезимальные сплетения в H-Mod можно охарактеризовать следующим образом.
Предложение 20.4.2. (а) Пусть < — некоторый элемент пространства Prim(H) ®Prim(if), удовлетворяющий соотношениям t2\ = t и [Д(а),<] = 0 для всех а Є Н. Для произвольной пары H-модулей (V, W) зададим операторы ty,w на V ®W формулой
tv,w(v®w) = t(v®w), (4.7)
где V Є V и W Є W. Тогда (ty,w)v,w является инфинитезимальным сплетением в категории H-Mod.
(б) Обратно, любое инфинитезимальное сплетение (ty,w)v,w в категории H-Mod имеет вид (4.7), где < = <я,я(1® 1) Є Я®Я. Элемент < принадлежит пространству Prim(H) ® Prim(H) и удовлетворяет двум условиям из части (а).
Доказательство. Утверждение (а) проверяется напрямую. Для доказательства утверждения (б) нужно действовать так же, как и в доказательстве предложения 13.1.4. Функториальность инфинитезималь-ного сплетения обязывает его иметь вид (4.7), где < = <#,# (1 ® 1). Далее, //-линейность инфинитезимального сплетения означает, что [A(a),<] = 0 для всех а Є Н. Условия (4.2) и (4.3) дают <21 = < и (id ® A) (<) = fi2 + <із соответственно. Тот факт, что < принадлежит подпространству, порожденному примитивными элементами, вытекает из рассуждения, использованного ранее при доказательстве предложения 16.5.2. ? 622
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Ограничимся рассмотрением подкатегории в H-Modf, состоящей из конечномерных ії-модулей. Она обладает левой двойственностью. Если H-Mod обладает инфинитезимальным сплетением, индуцированным некоторым элементом t'= Yji Xi ® Уі, где Xi и у і примитивны, то операторы Cy из (4.6) индуцируются действием одного и того же элемента, а именно С = Yh хгУг Є Н. Это следует из (4.6) и того факта, что антипод действует на примитивных элементах умножением на —1.
Предложение 4.2 можно применить к обертывающей алгебре H = = U(g) произвольной полупростой алгебры Ли g и элементу t Є g <8> 0, равному симметрическому инвариантному 2-тензору (17.1.6). В этом случае С есть элемент Казимира (17.1.5).
В параграфе 5 нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 20.4.3. Если U,V,W — объекты некоторой инфинитезимально сплетенной категории с симметрией (<7v,w)v,w и инфинитезимальным сплетением (ty,w)v,w, то имеет место равенство
[tu,V ® idw, er l{tu,w ® idy )cr + id[/ <g> ty,w] = 0,
(4.8)
где a = id;/ <g> ay,w-
Доказательство. Квадрат
U®V®W tv®v'w > u®v®w
tu, V ®id w
u®v®w tu0V,w > u®v®w
коммутативен в силу функториальности инфинитезимального сплетения. Иначе говоря, мы имеем
[tu,V ® idw, tu®v,w] = 0. Заменяя v,iv на его выражение из (4.4), получаем (4.8). ? 20.5. Универсальная категория для инфинитезимальных сплетений 623
20.5. Универсальная категория для инфинитезимальных сплетений
Теперь мы построим особенно интересную инфинитезимально сплетенную категорию AB. Объектами категории AB являются объекты категории кос В из параграфа 13.2, то есть неотрицательные целые числа. Морфизмами в AB являются элементы комплексных векторных пространств Ahor(T) для всевозможных кос Т, где Ahor(T) определяется так же, как и A(T) (см. параграф 3), с той оговоркой, что допускаются только горизонтальные хорды. Начальным (соответственно конечным) объектом для такой хордовой диаграммы является последовательность S(T) (соответственно Ь(Т)), определенная в параграфе 10.5. Композиция морфизмов определяется с помощью отображения (3.5). Тождественным морфизмом для целого числа п является не содержащая хорд диаграмма на косе In (определенной в параграфе 10.6).
Тензорное умножение в категории AB мы задаем так же, как и в категории кос, а именно, мы полагаем n®m = п+т для объектов, а тензорное произведение морфизмов задается размещением соответствующих хордовых диаграмм рядом на одной высоте. Тензорное умножение определено корректно и строго ассоциативно с единицей I = 0.
Сплетение (13.2.1) в категории кос индуцирует сплетение в категории AB: нужно только брать диаграммы, не содержащие хорд, на соответствующих косах. Так как мы рассматриваем хордовые диаграммы на косах с точностью до гомеоморфизма, понятно, что это сплетение симметрично в AB, хотя это было неверно в категории кос.
Для данных объектов п, т категории AB зададим эндоморфизм tn>m объекта n <g> m = п + т следующим образом. Если п или т = 0, то положим tn>m = 0. В остальных случаях положим
