Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Если, кроме того, инфинитезимально сплетенная категория S обладает левой двойственностью V V* со структурными отображениями20.6. Интегрирование инфинитезимально сплетенных категорий
621
by: I —)• V ® V* v. (Ну: V* ® V —> I (которые определены в параграфе 14.2), то инфинитезимальное сплетение имеет вид
tv,w = ^ (Cv®w -Cv® id w - idy ® Cw), (4.5)
где (Су ¦ V —> V)v есть семейство естественных эндоморфизмов в категории S, заданных формулой
Cv = - (idv ® (dv о tv,v)) о (by ® idy). (4.6)
Приведем примеры инфинитезимальных сплетений. Мы знаем, что если H = (Н, А, є, S) есть кокоммутативная алгебра Хопфа, то категория //-модулей H-Mod является симметрической тензорной категорией с переставляющим отображением в качестве симметрии. Пусть Prim(Zf) — линейное пространство примитивных элементов алгебры Н. Инфинитезимальные сплетения в H-Mod можно охарактеризовать следующим образом.
Предложение 20.4.2. (а) Пусть < — некоторый элемент пространства Prim(H) ®Prim(if), удовлетворяющий соотношениям t2\ = t и [Д(а),<] = 0 для всех а Є Н. Для произвольной пары H-модулей (V, W) зададим операторы ty,w на V ®W формулой
tv,w(v®w) = t(v®w), (4.7)
где V Є V и W Є W. Тогда (ty,w)v,w является инфинитезимальным сплетением в категории H-Mod.
(б) Обратно, любое инфинитезимальное сплетение (ty,w)v,w в категории H-Mod имеет вид (4.7), где < = <я,я(1® 1) Є Я®Я. Элемент < принадлежит пространству Prim(H) ® Prim(H) и удовлетворяет двум условиям из части (а).
Доказательство. Утверждение (а) проверяется напрямую. Для доказательства утверждения (б) нужно действовать так же, как и в доказательстве предложения 13.1.4. Функториальность инфинитезималь-ного сплетения обязывает его иметь вид (4.7), где < = <#,# (1 ® 1). Далее, //-линейность инфинитезимального сплетения означает, что [A(a),<] = 0 для всех а Є Н. Условия (4.2) и (4.3) дают <21 = < и (id ® A) (<) = fi2 + <із соответственно. Тот факт, что < принадлежит подпространству, порожденному примитивными элементами, вытекает из рассуждения, использованного ранее при доказательстве предложения 16.5.2. ?622
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Ограничимся рассмотрением подкатегории в H-Modf, состоящей из конечномерных ії-модулей. Она обладает левой двойственностью. Если H-Mod обладает инфинитезимальным сплетением, индуцированным некоторым элементом t'= Yji Xi ® Уі, где Xi и у і примитивны, то операторы Cy из (4.6) индуцируются действием одного и того же элемента, а именно С = Yh хгУг Є Н. Это следует из (4.6) и того факта, что антипод действует на примитивных элементах умножением на —1.
Предложение 4.2 можно применить к обертывающей алгебре H = = U(g) произвольной полупростой алгебры Ли g и элементу t Є g <8> 0, равному симметрическому инвариантному 2-тензору (17.1.6). В этом случае С есть элемент Казимира (17.1.5).
В параграфе 5 нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 20.4.3. Если U,V,W — объекты некоторой инфинитезимально сплетенной категории с симметрией (<7v,w)v,w и инфинитезимальным сплетением (ty,w)v,w, то имеет место равенство
[tu,V ® idw, er l{tu,w ® idy )cr + id[/ <g> ty,w] = 0,
(4.8)
где a = id;/ <g> ay,w-
Доказательство. Квадрат
U®V®W tv®v'w > u®v®w
tu, V ®id w
u®v®w tu0V,w > u®v®w
коммутативен в силу функториальности инфинитезимального сплетения. Иначе говоря, мы имеем
[tu,V ® idw, tu®v,w] = 0. Заменяя v,iv на его выражение из (4.4), получаем (4.8). ?20.5. Универсальная категория для инфинитезимальных сплетений 623
20.5. Универсальная категория для инфинитезимальных сплетений
Теперь мы построим особенно интересную инфинитезимально сплетенную категорию AB. Объектами категории AB являются объекты категории кос В из параграфа 13.2, то есть неотрицательные целые числа. Морфизмами в AB являются элементы комплексных векторных пространств Ahor(T) для всевозможных кос Т, где Ahor(T) определяется так же, как и A(T) (см. параграф 3), с той оговоркой, что допускаются только горизонтальные хорды. Начальным (соответственно конечным) объектом для такой хордовой диаграммы является последовательность S(T) (соответственно Ь(Т)), определенная в параграфе 10.5. Композиция морфизмов определяется с помощью отображения (3.5). Тождественным морфизмом для целого числа п является не содержащая хорд диаграмма на косе In (определенной в параграфе 10.6).
Тензорное умножение в категории AB мы задаем так же, как и в категории кос, а именно, мы полагаем n®m = п+т для объектов, а тензорное произведение морфизмов задается размещением соответствующих хордовых диаграмм рядом на одной высоте. Тензорное умножение определено корректно и строго ассоциативно с единицей I = 0.
Сплетение (13.2.1) в категории кос индуцирует сплетение в категории AB: нужно только брать диаграммы, не содержащие хорд, на соответствующих косах. Так как мы рассматриваем хордовые диаграммы на косах с точностью до гомеоморфизма, понятно, что это сплетение симметрично в AB, хотя это было неверно в категории кос.
Для данных объектов п, т категории AB зададим эндоморфизм tn>m объекта n <g> m = п + т следующим образом. Если п или т = 0, то положим tn>m = 0. В остальных случаях положим