Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение (8.3). Дадим лишь набросок доказательства. Детали см. в [Dri89b, параграф 3]. Вспомним про решения Wo и Wi системы (KZ3), определяемые своим асимптотическим поведением (7.5)-(7.7). Переставляя zi, z2, z3, получаем четыре новых решения W2, W3, W4, W^ системы (KZ3), однозначно определяемые следующими асимптотиками:
W2(ZuZ2yZ3) ~ (? - Z3)ntM(z2 - При |23 - Z2| « |Z2 - Z1I,
W3(zi,z2,z3) ~ (Z3 - Ziftl3 (z2 - при |Z3 _ гі| « |г2
W4(zx,z2,z3) ~ (Z1 - z3)ht"(z2 - Z3)n^+t^ при Iz3 - Z1I « Iz2 - Z31,
Wr5(ZbZilZ3) ~ (Z2 - Zi)«»(Z2 - z3)h^+t^ при Iz1 - z2| « Iz2 - z3|.
Заметим, что W2 получается из Wi перестановкой Z2 и z3. Прохождение Z3 над Z2, следуя петле о2 из группы кос B3, дает
Wi = W2eht23Z2 = W2R23. (8.9)
Далее, отметим, что W2 и W3 являются решениями уравнений (KZ3), в которых ii2 и і із переставлены местами. Следовательно, по определению Ф мы имеем
W3 = И^2Ф132. (8.10)
Аналогично, W4 получено из W3 с помощью прохождения Z3 перед Z1. Следовательно,
W3 = Wiehtl3'2 = W4Ri3. (8.11)
Рассуждение, аналогичное тому, которое мы использовали для W2 и W3, показывает, что
W4 = W5 Ф312. (8.12)
Соотношения (7.8) и (8.9)-(8.12) означают, что
W0 = Ж5Ф3І2ЛІЗ(Фш)-1Д2ЗФ- (8.13) 19.8. Проверка аксиом
593
Наконец, W5 получается из Wq в результате прохождения Z3 перед Zi и Z2- Значит,
W0 = W5eh(-tl3+t23^2 = W5{А <g> id)(Л), (8.14)
так как іі3 + t23 = (Д <g> id)(і). Из единственности решений следует, что соотношения (8.13), (8.14) влекут (8.3). Рисунок 8.1 суммирует указанные выше передвижения Zb Z2 и Z3.
Соотношение (8.4). Можно действовать так же, как и в случае соотношения (8.3). Альтернативное доказательство состоит в том, чтобы сначала доказать равенство Ф321 = Ф-1, что делается заменой z на 1 — z в уравнении (6.1). Затем, как в доказательстве леммы 18.8.2, применить инволюцию п3 к соотношению (8.3) и использовать тот факт, что Д = Дор и R = R21, для вывода соотношения (8.4).
Соотношение (8.5). Для доказательства «пятиугольного» соотношения мы сейчас рассмотрим систему (KZ4). Следующая лемма принадлежит Дринфельду, к работе которого [Dri90, параграф 2] мы и отсылаем за д оказательством.
Лемма 19.8Л. Система (KZ4) имеет решения Xi, X2, X3, X4 и X5, однозначно определяемые условиями
Xi(zi,z2,z3,z4) ~ (z2 - zi)htl2(z3 - zi)^13+^(z4 - Zl)m*+t24+tu)^ X2{zi,z2,z3,z4) ~ (z3 - z2)nt23{z3 - zi)^12+tl3)(z4 - 2l)A(«14+t24+tS4)> x3(zu z2, z3, z4) ~ (z3 - z2)At23(z4 - z2)h^+t3iHz4 - гі)А(^+«13+*14)і X4(zbz2,z3,z4) ~ (z4 - z3)Ai34(z4 - z2)n^3+t^(z4 - Zl)A(tn+ti3+ti4)) X5(zi,z2,z3,z4) ~ (z2 - Zi)Ail2(z4 - z3)At34(z4 - Zl)A(<13+t14+t23+t24).
Для Xi знак ~ означает, что существует аналитическая функция f(u,v) такая, что /(0,0) = 1и
XliZ1, Z2, Z3, Z4) = /(«, V)(Z2 - Zl)At12 (Z3 - Zl)A(tl3+t23)(z4 - Zl)A(«14+«»4+t34)>
Рис. 19.8.1. Передвижения zi, z2 и z3 594
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
где и = (z2 — z1)/(z4 — zi) и V = (z3 — z\)/(z4 — z\). Читатель сможет придать точный смысл знаку ~ в остальных случаях.
«Пятиугольное» соотношение (8.5) является немедленным следствием следующей леммы. Она завершает доказательство части (і) теоремы 4.2.
Лемма 19.8.2. В сделанных выше предположениях мы имеем
Хі = Х2(Ф®1), X2 = X3(id®A®id)^), Х3 = Х4(1®Ф), X4 = X5(id®id® Д)(Ф~1), X5 = Xi(A®id®id)^1).
Доказательство, (а) Мы начнем с доказательства первого соотношения Xi = X2 (Ф ® 1). Положим
Fi (z1, г2, z3, z4) = Xi (Z1, z2, z3, z4) (z4 - zi) - Wm+*24-Из4)
и
V2 (z1, z2, z3, z4 ) = X2 (Z1, z2, z3, z4 ) (Ф ® 1) (z4 - z1) ¦-h^). Достаточно доказать, что V1 = V2. По лемме 3.2 мы имеем
[*12, 114 + t24 + <34] = [h2, tu + t24] + [<i2, <34] = 0.
Аналогичное вычисление показывает, что и t23 коммутирует с <14 + <24 + <34. Значит, элемент Ф ® 1, который является формальным рядом от <12 и <23, коммутирует с <!4 + <24 + <34- Следовательно, F2 можно переписать в виде
F2(zbz2jz3jz4) =x2(zb z2,z3, z4)(z4 -гі)-^14+І24+^)(Ф®1).
Простое вычисление показывает, что и F1, и V2 удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений с частными производными:
dV чг-^ tij . <14 + <24 + <34
= ri} -j-—F(zi,z2,z3,z4) + nV(Z1, Z2, Z3, Z4)-,
OZ1 ^fZ1- Zj Z4 - Zl
зФ 1
(8.15)
= tm—F(zi,z2,z3,z4) для г = 2,3, (8.16)
CfZi Zi Zj
dV Ч/ Tг/ \ feTrI \ tli + f24 + *34 — = П} -J-—F(zbz2,z3,z4) - fiF(zi,z2,z3,z4)-.
OZ4 t-f Z4 — Zj Z4 — Z1
(8.17) 19.8. Проверка аксиом
595
Положим в уравнениях (8.15), (8.16) Z4 = оо (это имеет смысл, поскольку в действительности эти уравнения определены на комплексной проективной прямой). Тогда Fi (zi, z2, Z3, оо) и V2(z\,Z2,Z3,оо) становятся решениями системы (KZ3). Кроме того, согласно лемме 8.1 функции Vi(zi,Z2,z3,oo) и F2(zb z2,Z3,оо)(Ф-1 ® 1) имеют такое же асимптотическое поведение, как решения системы (KZ3) Wo и Wi соответственно. Из единственности этих решений мы получаем
Vi(zi,z2,z3,oo) = W0(ZbZ25Z3) ® 1
и
F2(ZbZ2lZ3lOO) = (Wi(ZljZ2jZ3)S) ® 1-
По определению Ф это означает, что
