Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
S(D) = -D- Y S(D1)D". (3.9)
42 D' называется поддиаграммой диаграммы D, если множество хорд D1 является подмножеством хорд D. — Прим. перев.618
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Рассмотрим теперь специальный случай п = 1 и обозначим A(Ii) и A(Ii) через АЦ) и А(4) соответственно. Для алгебры АЦ) имеет место следующая лемма.
Лемма 20.3.1. Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на 4- = Ii, имеющая хотя бы одну хорду. Пусть р — самая верхняя точка диаграммы D, а {р, q} есть соответствующая хорда. Пусть р' — точка на]., не входящая в D и расположенная ниже всех точек диаграммы D. Определим новую хордовую диаграмму D' как D' = (D\ {р, ?)) U {р', q}. Тогда DuD' задают один и тот же элемент алгебры АЦ).
Доказательство. Сначала мы сформулируем по-другому четырехчленное соотношение (2.5). Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на 4-, имеющая хотя бы одну хорду а = {у, z}, и пусть q — некоторая точка на 4-, не входящая в D. Возьмем четыре точки х\, х2, х3, х4, высоты которых ht(xj) имеют вид
ht(xi) = ht(y) + є, ht(x2) = ht(y) — є,
Iit(X3) = ht(z) + є, Iit(Z4) = ht(z) - є,
где є — достаточно малое положительное число. Рассмотрим диаграммы Df 'q = D U {q,xі} для і = 1,2,3,4. В этих обозначениях четырехчленное соотношение (2.5) переписывается в виде
Da,q _ Я + ЩЛ _?>?.« = (). (3.10)
Доказательство леммы следует из (3.10) и равенства
D-D1 = ^iDTq- Df + Df - Da44),
где сумма берется по всем хордам а диаграммы D = D\{p,q}. ?
Следствие 20.3.2. (а) Алгебра АЦ) коммутативна.
(б) Замыкание косы 4- индуцирует линейный изоморфизм
A(I) s A= 0 Am.
ш^О
Доказательство, (а) Это утверждение доказывается многократным применением леммы 3.1.20.6. Интегрирование инфинитезимально сплетенных категорий
619
(б) Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на окружности. Разрезая окружность в какой-нибудь точке, отличной от концов хорд диаграммы D, мы получаем хордовую диаграмму на Ii. Из леммы 3.1 видно, что результат не зависит от места разрезания. ?
Мы уже знаем, что АЦ) имеет структуру кокоммутативной алгебры Хопфа. Согласно последнему утверждению она также коммутативна. Используя следствие 3.2, мы перенесем эту структуру на А. Согласно известному результату JIepe (см. [MM65]), любая коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа А над полем характеристики нуль является симметрической алгеброй подпространства Prim(A) = фт>0 Prim(A)m примитивных элементов43 . Это утверждение можно применить к изоморфным алгебрам Хопфа А и АЦ). Несмотря на то что алгебры А и АЦ) являются алгебрами многочленов, мало что известно об их образующих, даже о размерностях dm = dim(Prim(A)m), равных (конечному) числу образующих алгебры А степени т. Размерности dm вычислены до размерности 8 включительно. Согласно работе [BN92, параграф 6] для dm имеет место следующая таблица:
т 01234567 8
dm 0 1 1 1 2 3 5 8 12
И последнее замечание: обозначим через С образ в алгебре А единственной хордовой диаграммы, имеющей ровно одну хорду, и через (С) — порожденный им двусторонний идеал. Имеют место изоморфизмы A = А/(С) и А = А[С].
20.4. Инфинитезимально сплетенные категории
Пусть S = (S, <8>, I) — некоторая строгая тензорная категория, в которой для любых двух объектов V и W множество морфизмов Hom,s (V, W) является комплексным векторным пространством, а композиция и тензорное умножение морфизмов являются билинейными
43 Доказательство этого результата использует классические рассуждения Хопфа, поэтому он называется теоремой Хопфа. Первая публикация его содержится в [37] (см. [21]). — Прим. ред.620
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
отображениями над С. Предположим, что категория S симметрическая и имеет инволютивное сплетение (ov,w)v,w-
Определение 20.4.1. В сделанных предположениях инфинитезималь-ным сплетением в S называется семейство функториальных эндоморфизмов в категории S
tv,w : V <g> W -> V <g> W, (4.1)
заданных для каждой пары объектов (V, W) категории S, такое, что
Oyyv о tvyv = tw,v ° ^vyv (4.2)
и
tu,v®w = tu,V ® idw + (<*иу ® idw)-1 ° (idy ® tu,w) ° (аиу ® idvv)
(4.3)
для всех объектов U, V, W категории S.
Такая симметрическая категория, снабженная инфинитезимальным сплетением, называется инфинитезимально сплетенной категорией.
Заметим, что ввиду (4.2) соотношение (4.3) равносильно следующему:
tu®v,w = idc; ® ty,w + (idr; ® ov,w)-1 ° (tu,W ® idy) о (idц <g> ay,w)•
(4.4)
Соотношения (4.3), (4.4) являются инфинитезимальными аналогами соотношений (13.1.5), (13.1.6), задающих сплетение в сплетенных тензорных категориях. Действительно, предположим, что нам дана сплетенная тензорная категория, в которой морфизмы зависят от формального параметра h, и, в частности, сплетение cy,w имеет вид
cv,w = W (idy®w + htv,w + члены более высокого порядка по /і)
для некоторой симметрии ay,W- Непосредственное вычисление показывает, что если CylW удовлетворяет соотношениям (13.1.5), (13.1.6), то эндоморфизмы ty,w удовлетворяют соотношениям (4.3), (4.4).