Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 179

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 199 >> Следующая


S(D) = -D- Y S(D1)D". (3.9)

42 D' называется поддиаграммой диаграммы D, если множество хорд D1 является подмножеством хорд D. — Прим. перев. 618

Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов

Рассмотрим теперь специальный случай п = 1 и обозначим A(Ii) и A(Ii) через АЦ) и А(4) соответственно. Для алгебры АЦ) имеет место следующая лемма.

Лемма 20.3.1. Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на 4- = Ii, имеющая хотя бы одну хорду. Пусть р — самая верхняя точка диаграммы D, а {р, q} есть соответствующая хорда. Пусть р' — точка на]., не входящая в D и расположенная ниже всех точек диаграммы D. Определим новую хордовую диаграмму D' как D' = (D\ {р, ?)) U {р', q}. Тогда DuD' задают один и тот же элемент алгебры АЦ).

Доказательство. Сначала мы сформулируем по-другому четырехчленное соотношение (2.5). Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на 4-, имеющая хотя бы одну хорду а = {у, z}, и пусть q — некоторая точка на 4-, не входящая в D. Возьмем четыре точки х\, х2, х3, х4, высоты которых ht(xj) имеют вид

ht(xi) = ht(y) + є, ht(x2) = ht(y) — є,

Iit(X3) = ht(z) + є, Iit(Z4) = ht(z) - є,

где є — достаточно малое положительное число. Рассмотрим диаграммы Df 'q = D U {q,xі} для і = 1,2,3,4. В этих обозначениях четырехчленное соотношение (2.5) переписывается в виде

Da,q _ Я + ЩЛ _?>?.« = (). (3.10)

Доказательство леммы следует из (3.10) и равенства

D-D1 = ^iDTq- Df + Df - Da44),

где сумма берется по всем хордам а диаграммы D = D\{p,q}. ?

Следствие 20.3.2. (а) Алгебра АЦ) коммутативна.

(б) Замыкание косы 4- индуцирует линейный изоморфизм

A(I) s A= 0 Am.

ш^О

Доказательство, (а) Это утверждение доказывается многократным применением леммы 3.1. 20.6. Интегрирование инфинитезимально сплетенных категорий

619

(б) Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на окружности. Разрезая окружность в какой-нибудь точке, отличной от концов хорд диаграммы D, мы получаем хордовую диаграмму на Ii. Из леммы 3.1 видно, что результат не зависит от места разрезания. ?

Мы уже знаем, что АЦ) имеет структуру кокоммутативной алгебры Хопфа. Согласно последнему утверждению она также коммутативна. Используя следствие 3.2, мы перенесем эту структуру на А. Согласно известному результату JIepe (см. [MM65]), любая коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа А над полем характеристики нуль является симметрической алгеброй подпространства Prim(A) = фт>0 Prim(A)m примитивных элементов43 . Это утверждение можно применить к изоморфным алгебрам Хопфа А и АЦ). Несмотря на то что алгебры А и АЦ) являются алгебрами многочленов, мало что известно об их образующих, даже о размерностях dm = dim(Prim(A)m), равных (конечному) числу образующих алгебры А степени т. Размерности dm вычислены до размерности 8 включительно. Согласно работе [BN92, параграф 6] для dm имеет место следующая таблица:

т 01234567 8
dm 0 1 1 1 2 3 5 8 12

И последнее замечание: обозначим через С образ в алгебре А единственной хордовой диаграммы, имеющей ровно одну хорду, и через (С) — порожденный им двусторонний идеал. Имеют место изоморфизмы A = А/(С) и А = А[С].

20.4. Инфинитезимально сплетенные категории

Пусть S = (S, <8>, I) — некоторая строгая тензорная категория, в которой для любых двух объектов V и W множество морфизмов Hom,s (V, W) является комплексным векторным пространством, а композиция и тензорное умножение морфизмов являются билинейными

43 Доказательство этого результата использует классические рассуждения Хопфа, поэтому он называется теоремой Хопфа. Первая публикация его содержится в [37] (см. [21]). — Прим. ред. 620

Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов

отображениями над С. Предположим, что категория S симметрическая и имеет инволютивное сплетение (ov,w)v,w-

Определение 20.4.1. В сделанных предположениях инфинитезималь-ным сплетением в S называется семейство функториальных эндоморфизмов в категории S

tv,w : V <g> W -> V <g> W, (4.1)

заданных для каждой пары объектов (V, W) категории S, такое, что

Oyyv о tvyv = tw,v ° ^vyv (4.2)

и

tu,v®w = tu,V ® idw + (<*иу ® idw)-1 ° (idy ® tu,w) ° (аиу ® idvv)

(4.3)

для всех объектов U, V, W категории S.

Такая симметрическая категория, снабженная инфинитезимальным сплетением, называется инфинитезимально сплетенной категорией.

Заметим, что ввиду (4.2) соотношение (4.3) равносильно следующему:

tu®v,w = idc; ® ty,w + (idr; ® ov,w)-1 ° (tu,W ® idy) о (idц <g> ay,w)•

(4.4)

Соотношения (4.3), (4.4) являются инфинитезимальными аналогами соотношений (13.1.5), (13.1.6), задающих сплетение в сплетенных тензорных категориях. Действительно, предположим, что нам дана сплетенная тензорная категория, в которой морфизмы зависят от формального параметра h, и, в частности, сплетение cy,w имеет вид

cv,w = W (idy®w + htv,w + члены более высокого порядка по /і)

для некоторой симметрии ay,W- Непосредственное вычисление показывает, что если CylW удовлетворяет соотношениям (13.1.5), (13.1.6), то эндоморфизмы ty,w удовлетворяют соотношениям (4.3), (4.4).
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed