Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
элементы А и В перестановочны с коммутатором [А, В]. (б) Покажите, что Ф(А, В) является экспонентой от некоторого ряда Ли. (Указание: докажите, что АФ = Ф <g> Ф.)
3. Докажите, что проектор /, заданный формулой (6.11), совпадает со сверткой Vb * id * и а, где va и ив являются эндоморфизмами алгебры S, заданными формулами
^a(A) = -A, иА(В) = 0, ив(А) = 0, ив(В) =-В.
4. Докажите, что существует аналитическая функция V(z), определенная в некоторой окрестности отрезка [0,1], такая, что zhA( 1 — z)hBV(z) есть решение уравнения (6.1). Покажите, что Ф (А,В) = F(I)F(O)-1.
5. Пусть vi,... ,Vn — аналитические функции. Рассмотрим диффе-
ренциальное уравнение
п
G'(z) = (9.1)
i=i 19.10. Замечания
599
где Ai,... ,An суть некоммутирующие переменные и ui = v1ijvi для і = 1,... ,п. Положим V(z) = vnAn .. .v^AiG(z), где G(z) — решение уравнения (9.1). Установите, что V(z) является решением уравнения V'(z) = Q(z)V(z), где
п
Q = Y^ UiV' ad^") ...V- ad^ Krf(^-I)... г,- ad^i) - 1) (Ai).
г=2
19.10. Замечания
Материал параграфов 1, 2 является стандартным. Дополнительные сведения о конфигурационном пространстве Xn см. в [Aom78], [Hai86], [Koh85]36 .
Уравнения (KZn) были введены в [KZ84] Книжником и Замолодчи-ковым при изучении модели Весса-Зумино-Виттена в конформной теории поля.
Теорема 4.1, которая является основным результатом этой главы, впервые появилась в [Koh87], [Koh88]. При доказательстве мы близко следовали Дринфельду [Dri89b], [Dri90], [Dri89c]. По сути дела, Дринфельду принадлежит большая часть утверждений из параграфов 4-8. Исключение составляет параграф 6, предложение 6.4 в котором принадлежит JIe и Мураками [LM93b]. Мы использовали также [LM93a]. Как было показано в параграфе 8, доказательство Дринфельда того факта, что A0)t есть сплетенная квазибиалгебра, основывается на рассмотрении асимптотического поведения некоторых решений систем уравнений (KZ3) и (KZ4). Капранов в [КарЭЗ] обсуждает асимптотические области, использованные Дринфельдом, и связывает их с возможными расстановками скобок в слове из конечного числа букв.
В параграфе 11 мы собрали некоторые факты об итерированных интегралах, найденные нами в [Aom78], [Che61], [Che73], [Che75], [Che77a], [Che77b], [G0I8O], [Lap53], [Ree58], [Reu93], [Was87], [Zag93].
36 См. также [1]. — Прим. ред. 600
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
19.11. Добавление. Итерированные интегралы
Пусть ші,... , wn — комплекснозначные дифференциальные 1-фор-мы, заданные на отрезке [а, 6] вещественной прямой. Мы имеем = fi{s) ds, где /1,... , Jn — некоторые комплексные функции. Определим индуктивно итерированные интегралы J^ wi... wn по формулам
["ил= Ґ fl(s)ds, (11.1)
Ja Ja
и ^
/ Wi... Wn= fi{s) I / W2.. -Wn ) ds, (11.2)
Ja Ja \Ja J
если п > 1. Итерированные интегралы обладают следующими формальными свойствами:
rb га
/ W!...Wn = (-l)n Wn... Wl, (11.3)
Ja Jb
rc rb rb rb гс
/ Wl ... Wn = / Wl ... Wn + E / Wl... Wk Luk+1 ...Wn+ Wl... Wn Ja Ja А;*~1 а
(11.4)
для а < b < с и
rb rb _ rb
/ Wi...Wn Wn+1 . . . Wn+m = 22 / ^(7-1(1) ••-^<7-1 (n+m), (11-5) Ja Ja a a
где перестановка а пробегает все (n, ш)-перетасовки из симметрической группы SnJrm.
Итерированные интегралы появляются при решении некоторых линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение вида
^ = А(*)У(*), (11.6)
где Y(s) есть дифференцируемая функция, заданная на отрезке [а, 6] вещественной прямой, со значениями в кольце операторов на некотором комплексном векторном пространстве, и где A(s) есть некоторый линейный оператор, зависящий от s Є [а, ?>]. Дифференциальное уравнение (11-6) имеет единственное решение У(s) с начальным значением 19.11. Добавление. Итерированные интегралы
601
Y(а), равным 1. Метод аппроксимаций Пикара приводит к следующему формальному выражению для F(,s):
Y(з) = id + Qi(s) +Q2(s) +... , (11.7)
где семейство (Qp)р^о определяется по индукции равенствами Qo = id и для р > 0
Qp(s)= f A(S1)Qp^1(Sl) dsx. (11.8)
Ja
Эквивалентно, Qp можно определить как интеграл по вещественному р-симплексу
Ар(а; s) = {(si,... ,Sp) \ S ^ S1 ^ S2^ ¦¦¦ ^ Sp^ а} по формуле
Qp(s) = A(S1)A(S2)... A(sp)ds1ds2...dsp. (11.9)
J Ap(a;s)
Теперь мы хотим применить метод Пикара к дифференциальному уравнению
? = (їмо)
ds S — а,-
j=i J
где A1,... , An — постоянные линейные операторы, a ai,... , ап — попарно различные комплексные числа, лежащие вне вещественного отрезка [а, 6]. Согласно (11.1), (11-2) и (11.7)-(11.9) единственное формальное решение У(s) уравнения (11.10) с Y(a) = id представляется формальным рядом
Y(s) = id + J2 J2 La(ah,... ,ajr\s)Ah...Ajr, (11.11)
r>о 1?!,... Jr^n
где комплексные функции L0(ал,... , aJr |s) определены с помощью следующих итерированных интегралов: 602
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Функции такого типа уже появлялись в [Рої84, III] и изучались JIanno-Данилевским в [Lap53, Memoire II], где они называются «гиперлогарифмами».
