Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 176

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 199 >> Следующая


Аналогично определяется векторное пространство Vj^ комплексно-значных инвариантов порядка ^ т для оснащенных узлов. В этом параграфе мы покажем, что все пространства V^m) и V^ конечномерны, и дадим комбинаторное описание фактор-пространств V(m)/V"(m_1) и

v(m)/v(m-l) 20.2. Хордовые диаграммы и теорема Концевича

609

Для этого нам понадобится понятие хордовой диаграммы на окружности: этот термин обозначает конечное множество неупорядоченных пар попарно различных точек на окружности, рассматриваемое с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности. Для обозначения такой диаграммы принято соединять точки в каждой паре прямой пунктирной линией, называемой хордой. Для данных 2т попарно различных точек существует

(2m- 1)!! = 1-3-5... (2т- 1)

различных способов разбиения их на пары. Действительно, первую из 2т точек мы можем соединить с (2т—1) точками. Возьмем следующую среди оставшихся (2т — 2) точек — ее можно соединить с одной из (2т — 3) точек, и т. д.

Между инвариантами конечного порядка и хордовыми диаграммами имеется связь, которую мы сейчас и опишем. Пусть D — хордовая диаграмма на окружности, имеющая m хорд (то есть 2т точек, разбитых на пары). Вложением D в пространство R3 мы называем любой сингулярный узел / : S1 —> R3 с в точности m двойными точками такой, что f(s) = f(s'), если и только если S = s' или S и s' являются концами одной хорды в D. Для любой диаграммы D всегда найдется какое-нибудь ее вложение Kd- Если K1d — другое вложение D, то его можно получить из Kd последовательностью операций, состоящих в смене прохождений. Предположим, что нам дан комплекснозначный инвариант узлов P порядка ^ т. Так как P обращается в нуль на сингулярных узлах с более чем m двойными точками, P не изменяется согласно правилу (1.1) при операциях, переводящих Kd в K1d, откуда значение P(Kd) не зависит от выбора вложения диаграммы D, использованного при его вычислении.

Пусть Em — комплексное линейное пространство с базисом, образованным всеми хордовыми диаграммами с т хордами. Размерность Em конечна и не превосходит (2m — 1)!!. Взятие значения инварианта порядка ^m на вложении хордовой диаграммы с m хордами приводит к спариванию

( , ): vM®Em -*С. (2.1)

Предположим, что (P,D) = 0 для любой хордовой диаграммы Dcm хордами. Так как любой сингулярный узел с m двойными точками 610

Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов

можно представить как вложение некоторой хордовой диаграммы, мы видим, что P обращается в нуль на всех сингулярных узлах с т двойными точками, то есть порядок P не превосходит ^m-I. Следовательно, отображение P (Р, •) индуцирует мономорфизм

Ym ¦¦ V^/V^-1' Нот(.Em, С) (2.2)

фактор-пространства V^m)/V^m-1' в пространство конечной размерности. Аналогичное рассуждение работает и в случае приходим к следующему утверждению.

Предложение 20.2.1. Пространства у(то) и V^ конечномерны.

Доказательство. Мы уже отмечали, что инварианты узлов порядка 0 суть константы. Следовательно, V^0' = V^ = С, что доказывает наше утверждение в случае т = 0. Простая индукция по m с использованием включения (2.2) завершает доказательство. ?

Фактически доказательство предложения 2.1 показывает, что размерности пространств у(то) и V^ не превосходят 1 + Y^k=і(2/с — 1)!!.

Наша следующая цель состоит в сужении пространства, в котором лежит образ отображения Ym. Точнее говоря, мы покажем, что любая линейная функция из образа отображения Ym удовлетворяет важному четырехчленному соотношению. Пусть D — некоторая хордовая диаграмма с т — 2 хордами. Рассмотрим четыре фрагмента, показанные на рис. 2.1, каждый из которых содержит две хорды.

Рис. 20.2.1. Хордовые диаграммы, входящие в четырехчленное соотношение

Обозначим через D\, D2, D3 и D4 хордовые диаграммы, получающиеся из D добавлением соответствующих фрагментов рис. 2.1 на одно и то же место (вертикальные линии на рисунке представляют 20.2. Хордовые диаграммы и теорема Концевича

611

дуги окружности, несущей хордовую диаграмму). Мы утверждаем следующее.

Предложение 20.2.2. (а) Если P есть элемент пространства VM

Vlm)

fr > то

(Р, D1) - (P, D2) + (Р, D3) - {P, D4) = 0 (2.3)

для любой хордовой диаграммы cm — 2 хордами.

(б) Любой элемент P пространства v(-) обращается в нуль на любой хордовой диаграмме с изолированной хордой, то есть хордой, которая не пересекает других хорд в диаграмме.

Соотношение (2.3) называется четырехчленным соотношением для инвариантов конечного порядка.

Доказательство, (а) Пусть Ki, K2, K3 и K4 есть сингулярные узлы, отличающиеся локально, как показано на рис. 2.2. Они являются вложениями хордовых диаграмм Di, D2, D3 и D4, описанных выше.

Рис. 20.2.2. Локальное отличие узлов Ki, К-2, K^ и K4

Тогда левая часть соотношения (2.3) равна

P(Ki) - P(K2) + P(K3) - P(K4). (2.4)

Для вычисления суммы (2.4) применим соотношение (1.1) ко всем двойным точкам на рис. 2.2. Тогда (2.4) превратится в сумму восьми пар взаимно сокращающихся слагаемых.

(б) Пусть D — некоторая хордовая диаграмма с изолированной хордой. Тогда найдется вложение К диаграммы D такое, что двойная точка узла К, соответствующая изолированной хорде, разделяет К на две не взаимодействующие части. В этом случае мы видим, что К+ и K-изотопны. Из соотношения (1.1) следует, что
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed