Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (7.4) изучалось на протяжении параграфа 6. Пусть Gq(z) и Gi(z) — решения (7.4), полученные из решений Gq(z) и Gi(z) уравнения (6.1) заменой А на t\2, а В — на <23- Из предложения 6.1 мы получаем единственные решения уравнения (7.2)
Wi(ZllZ2lZ3) = (z3 - Zl)A('l2+t23+tl3)Gi(Z) (г = 0,1) (7.5) 19.7. Построение топологической сплетенной квазибиалгебры ABit
589
с асимптотиками
W0(ZUZ2^Z3) ~ (Z2 - zx)ht"(z3 - Zl)A(t23+tis) (7.6)
при IZ2 — ZiI < |z3 — ZiI, то есть при IZ2 — zi\/\z3 — ZiI, стремящемся к О, и
Wi(zi,z2,z3) ~ (z3 - Z2)nt™(z3 - Zl)A(tia+tls) (7.7)
при 1? — 2з| < IZi — z3\. Из определений 6.2 и 7.1 решения TVo и Wi связаны соотношением
W0(zi,z2,z3) = Wi(zi,z2,z3)$KZ. (7.8)
Вычислим монодромию системы (KZ3). Замена переменных (7.3) имеет следующее свойство: zi близко к Z2 тогда и только тогда, когда Z близко к 0. Аналогично, Z3 близко к Z1 или к Z2, когда z близко к оо или 1 соответственно. Рассмотрим теперь образующую Oi группы кос B3 с параметризацией, задаваемой формулой (3.11). Непосредственное вычисление дает
Z1(S)-Z2(S) = 2е^
ZlS) zi(s) -z3(s) 3 + е^Ь- 1 }
В частности, z(0) = 1/2, z( 1/2) = (1 + 3-/^1)/5 и z(l) = -1, откуда видно, что при нашей замене переменных образующая Cr1 соответствует полуобороту против часовой стрелки вокруг точки 0 на комплексной плоскости. Аналогично, образующая о2 группы B3 соответствует полуобороту против часовой стрелки вокруг точки 1. Выберем базисную точку в конфигурационном пространстве X3, соответствующую при замене переменных точке, близкой к 0 на комплексной плоскости. По определению решения G0(z), оно умножается на ehtl2, когда z делает полный оборот в положительном направлении вокруг особой точки 0. Следовательно, значение монодромии (KZ3) на образующей Ct1 есть g/iti2/2 Hto же касается о2, то мы должны сначала переместиться из окрестности нуля в окрестность точки 1 с помощью Фкг, затем сделать оборот вокруг особенности в 1 и вернуться назад в окрестность точки 0. Это диктует значение монодромии для о2, равное Такие значения монодромии в точности совпадают с теми, что предписывались формулой (15.4.2). Эти рассуждения доказывают утверждение (ii) теоремы 4.2 в случае n = 3. 590
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Остальные случаи, когда n > 3, мы оставляем читателю. Заметим только, что взятие прообраза общей системы (KZn) вдоль петли ai из Bn, параметризованной по формуле (3.11), приводит к линейному дифференциальному уравнению
dw dw dzi dw dzl+\ _ ds dzi ds дZi+i ds
_h( ^ ( e"^1*
Іфі,і+1
етл/-ї s
ti+hj ) ) w(s).
2(j - i) - 1 - e7r^Is
Это уравнение решается в терминах итерированных интегралов с помощью метода аппроксимаций Пикара, о котором упоминается в параграфе 11.
19.8. Проверка аксиом
Для завершения доказательства утверждения (і) теоремы 4.2 нам осталось лишь показать, что Ag^ является топологической сплетенной ква-зибиалгеброй. Положим Ф = Фкг и R = Rkz- Мы должны проверить соотношения (16.4.10)-(16.4.13) и (16.4.15)-(16.4.17). Выпишем все еще не доказанные соотношения, а именно
(id ® Д)Д(а) = Ф(Д ® id)A(a^-1 и Дор(а) = RA(G)R'1 (8.1)
для всех а Є A0J = У (fl) [[/»]],
(id®e®id)^) = 1® 1, (8.2)
(Д ® id)(R) = Фзі2Діз(Фі32)_1Д2зФ, (8.3)
(id ® Д)(Д) = (Ф2зі)_1ДізФ2ізДі2Ф_1 (8.4)
и
(id ® id ® Д)(Ф) (Д ® id ® id)(Ф) = (1 ® Ф) (id ® Д ® id)(Ф) (Ф ® 1).
(8.5) 19.8. Проверка аксиом
591
Соотношения (8.1). Так как коумножение Д коассоциативно и коком-мутативно, а алгебра Ли g порождает A0it, соотношения (8.1) равносильны следующим:
[Д(2)(х),Ф] =0 и [Д(я?),Л] = 0 (8.6)
для всех X Є 0, где Д(2) = (Д <8 id)A = (id ® Д)Д. По предположению Д(ж) коммутирует с 2-тензором t. Применяя формулу Лейбница к следующему специальному случало, получаем
[Д(х),*п] = [Д(®),<п-1]< + <п-1[Д(®),<])
что влечет [Д(х), tn\ = 0 индукцией по п. Следовательно, [A(x),R] = [A(x),eht/2] = E ^y [A(*M4 =
п^О
Это доказывает второе соотношение в (8.1). Разберемся с первым. Мы утверждаем, что
[Д(2>(хМі2] = [Д(2>(я),«2з] = 0 (8.7)
для всех X Є 0. Действительно, для любого элемента X алгебры Ли 0 мы имеем
Д(2)(я) = Д(я)і2 + 1®1®х = а;®1®1-|- Д(ж)2з,
что влечет
[Д(2)(х),<12] = [Д(*Ні2 + [1 ® М] ® X = 0.
Аналогично можно показать, что A^ (х) коммутирует с І23- Далее, многократно применяя правило Лейбница, с помощью (8.7) мы получаем, что Д(2) (х) коммутирует со всеми (некоммутативными) мономами ОТ переменных 112 и І23- В ЧаСТНОСТИ, А(2)(х) коммутирует с Ф вследствие предложения 6.4 и определения 7.1. Это завершает доказательство соотношений (8.1).
Соотношение (8.2). Элемент t Є д обнуляется под действием id® є и є ® id. Следовательно,
(id ® є ® id)(ti2) = (id ® є ® id)(t23) = 0. (8.8) 592
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Так как id <8 є <8 id является С[[/і]]-линейньім гомоморфизмом алгебр, он убивает все нетривиальные мономы, составленные из ii2 и i23. Следовательно, снова по определению Ф мы имеем
(id ® є <8 id) (Ф) = (id <8 є <8 id.) (1 <8 1 <8 1) = 1 <8 1.
