Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Vi(zi,z2,z3,oo) = F2(zbz2,z3,oo) (8.18)
для всех zi, z2, Z3. Соотношение (8.18) и уравнение (8.17) означают, что V\ и F2 совпадают всюду.
(б) Для доказательства второго соотношения в лемме 8.2 достаточно проверить, что следующие функции U\ и JZ2 совпадают:
Ui{zi,z2,z3,z4) = X2(zi,z2,z3,z4) (z3 - z2)~ht23
и
U2(zi, z2, Z3, z4) = X3(zi, z2, Z3, z4)(id ® A ® id)(Ф) (z3 - z2)~ht23.
Элемент (id ® A ® id)($) является формальным рядом от переменных
(id® A®id)(ti2) =ti2 + ti3 и (id® A®id)(i23) = t24 + t34.
По лемме 3.2 снова t24+t34 коммутирует с t23. Следовательно, JZ2 можно переписать в виде
U2(Z1, z2, Z3, Z4) = X3(zi,z2, z3, z4)(z3 - z2)~ht23 (id ® А ® id)(Ф).
Обе функции Ui и U2 являются решениями системы уравнений
- = ^V"—%±—U(zi,z2,z3,z4) для і = 1,4, (8.19)
OZ{ , . Zi Zj
Зфг J
Ж =H^ U(zi, z2, z3, z4)+ H^i^fb^lM, (8.20)
dZ2 A^ - Z3
IV =H^ ~^~U(zi,z2,z3,z4) - ft ^Mzu Z2, Z3, Z4)] 596
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
В случае Z2 = Z3 мы утверждаем, что
Ui(ZhZ2iZ2yZ4) = U2(zuz2,z2,z4)
ДЛЯ всех Zl1Z2lZ4. Положим Ti(Zl1Z2lZ4) = Ui(Zl1Z2lZ2lZ4) для і = 1,2. Уравнения (8.19)-(8.21) означают, что Ti и T2 являются решениями системы уравнений
^ = п( ^H + Tizux2i Z4), (8.22)
OZl \ Zl - Z2 Zl-Z4J
дТ Ґ <12 + <13 <24 + «34 гг, ч /опо\
— = /П-H--T(Zi1Z2lZ4)1 (8.23)
Oz2 \ Z2- Zl Z2- Z4 J
и
OT(Zi1Z2lZ4) / <14 , «24 +«34^™, , , > -ЯІ-= h [--T + T-— JT(*b*2,34). (8.24)
OZ4 \ Z4 — Zl Z4 - Z2 J
Теперь
<12 + «13 = (id ® А ® id)(<i2), <14 = (id ® А ® id)(<i3)
и
«24 + «34 = (id ® А ® id)(<23).
Следовательно, уравнения (8.22)-(8.24) означают, что Ti и T2 являются решениями системы (KZ3), В которой коэффициенты tij заменены на новые коэффициенты (id ® А ® id)(<jj). Согласно результатам из параграфа 7 существуют решения H0 и Н\ этой модифицированной (KZs)-CHCTeMH такие, что
H0(Zi1Z2lZ4) = Hi(ZilZ2lZ4) (id® Д ®і(і)(Ф) (8.25)
с асимптотическим поведением
H0(Zl1Z2lZ4) ~ (Z2 - Zl)n^2+tl*Hz4 - Zl)^14+<24+t34)
при IZ2 - Zll <с \z4 - Zl \ и
Hi(Zi1Z2lZ4) ~ (z4 - z2)n(t24+t34)(z4 -
при \z2 — z4j < \zi — z4j. Из сказанного, леммы 8.1 и того факта, что <23 коммутирует С <12 +<13) «14+ «24 +«34, «24 + «34 И С «12 +«13 +«14, СЛЄДУЄТ, что Ti и Т2(id ® А ® id)^)_1 имеют те же асимптотики, что и H0 и Hi соответственно. Следовательно, Ti = H0 и T2(id ® А ® id)($)_1 = Hi. 19.8. Проверка аксиом
597
Сопоставляя эти соотношения с (8.25), мы делаем вывод, что Т\ и T2 совпадают. Следовательно,
Ui(zi,z2,z2,z4) = U2(zi,z2,z2,z4) (8.26)
для всех zi,z2,z4. Соотношение (8.26) и уравнение (8.20) означают, что функции Ui и. U2 всюду совпадают, (в) Оставшиеся соотно-
X1
шения в лемме 8.2 доказываются аналогичным образом:
в случае третьего соотноше- • ••-•— X2
ния мы отправляем Z1 в оо, а
X'
zi z2 z 3 z4
zi z2 z3 z4
з
X1
в случае последних двух мы
ДОЛЖНЫ отождествить Z3 С t t , , X4
z4 и Zi с z2 соответственно.
Перемещения Z1, z2, Z3 И Z4 * « » *— X5
в этом доказательстве можно представить системой четырех частиц, движущихся,
как показано на рис. 8.2. ? Рис-19.8.2. Конфигурации четырех частиц
Замечание 19.8.3. Рассмотрим переменные удовлетворя-
ющие инфинитезимальным соотношениям группы кос (2.1)-(2.2). Повторное рассмотрение доказательства соотношений (8.1)-(8.5) показывает, что в действительности мы установили существование формального ряда Ф(Л, В) от двух некоммутирующих переменных А и В со свободным членом 1, принадлежащего алгебре S из параграфа 6 и удовлетворяющего трем соотношениям:
ф(*12,*23 +*24)Ф(*13 + t23,t34) =
= Щі23,і34)Ф{іп +113, t24 + і34)Ф{і12, t23), (8.27) ef(*i3+t23) = Ф(ііз,і12)е^Ф(ііз,І2з)-1е^Ф(іі2,і23), (8.28) e|(ii3+tl2) = ф(І2з,і1з)-іе^Ф(і12,і1з)е^Ф(іі2,і2з)-1. (8.29) Соотношение (8.27) является другой записью (8.5), а (8.28), (8.29) со-
mij
ответствуют (8.3), (8.4), поскольку Rij = е 2 для 1 ^ г < j ^ 3, (А «8» id)(R) = e^tl3+t23) и (id «8» A)(R) = e^tl3+tl2). 598
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Элемент Ф(А, В) алгебры S со свободным членом 1, удовлетворяющий соотношениям (8.27)-(8.29), мы будем называть рядом Дринфельда. Ассоциатор Дринфельда Фкг пока является единственным рядом Дринфельда, для которого дана явная конструкция. В действительности Дринфельд установил существование ряда Дринфельда с рациональными коэффициентами (см. [Dri90, теоремы А, А', А"]). Было бы интересно получить его описание, особенно в связи с конструкциями из параграфов 6, 7. Для случая элементов tij все получается из инвариантного симметрического 2-тензора t полупростой алгебры Ли. Дринфельд показал также в [Dri89b, теорема 3.15], что Ф единственен с точностью до калибровочного преобразования с симметрическим инвариантным элементом F.
19.9. Упражнения
1. Пусть g — полупростая алгебра Ли, a t Є g <8> g — 2-тензор из (17.1.6). Покажите, что [іі2,^із] Ф 0.
2. (а) Вычислите ассоциатор Дринфельда Ф(Д В) в случае, когда
