Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
№)[[/»]], F1-1AF', є, 1 ® 1 ® 1, (а ® а)(ДЛ)). (5.5)
Используя F' в качестве калибровочного преобразования, мы получаем следующее утверждение, завершающее шаг 1.
Предложение 19.5.2. KOA (Uh(g),Ah,?h, 10101,/??) изоморфна топологической сплетенной квазибиалгебре, полученной калибровочным преобразованием F' из (С/(б)[[^]], А,є, Ф,Я), где
Ф = (id ® A)(F')(1 0 F'XF'-1 ® 1)(Д ® id)(F'_1),
U R = F^{a®a)(Rh)F'-1.
Заметим, что так как коумножение А коассоциативно, элемент Ф 0-инвариантен, то есть
[(А ® id)A(z), Ф] =O
для всех і G д. Аналогично, элемент R является 0-инвариантным ввиду кокоммутативности Д.
Шаг 2. Применим процедуру симметризации из параграфа 16.6. Согласно предложению 16.6.2 существует калибровочное преобразование F" на C/(0)®2[[/i]] такое, что [A(x),F"] = 0 для всех х Є 0, и такое, что если мы положим R' = FlliRF"-1, то будем иметь R'2\ — R'¦ Сделаем следующее важное утверждение. 19.5. Эквивалентность Uh(Q) и Ag,t
579
Лемма 19.5.3. В сделанных выше предположениях R' = ehtI2. Доказательство. Согласно предложению 5.2, мы имеем
r>t 2 _ р/ г?' _
Jtt — Ji.2] JX —
= F"F'(a ® a)((Rh)21)F'^ F11211 F"2iF'2i(a ® a)(Rh)F'~lF"~l = = F"f(a ® 0)((^)2!?)^-1^"-1.
Теперь из предложения 17.3.2 и соотношений (5.2), (5.3) и (17.3.6) мы получаем
R'2 = F"F'(a ® a) (Afc(eACh/2)(e-fcCh/2 ® е""7*/2)) F7-1F"-1 = = F"F'AKeha^/2) (e~ha(Ch)/2 ® е-/іа(с'л)/2) F7-1F"-1 = = р"р'F'~l A(ehcl2)F'(e~hCl2 ® e~hC^2)F'~lF"~l = = FwA(C^2)F"-1 (е-лс/2 ® е-лс/2) = = Д(елс/2)(е-'іс/2®е-,іс/2),
так как элемент С лежит в центре, а F" является д-инвариантным. Наконец, из соотношения между элементом Казимира и 2-тензором t, а также центральности С, мы получаем
д/2 = елд(с)/2(е-лс/20в-лс/2) =
_ /і(д(с)-1®с-с®1)/2 _
= eht.
Так кале i?' = 1 ® 1 (mod h), отсюда следует, что R' = eht!2. ?
Замечание 19.5.4. Единственное специфическое свойство Uh(s), использованное в этом доказательстве, — это то, которое сформулировано в предложении 17.3.2. Дринфельд [Dri90] в действительности доказал более сильное утверждение: если А есть произвольная KOA для комплексной полупростой алгебры Ли д, то А всегда изоморфна после применения некоторого калибровочного преобразования топологической сплетенной квазибиалгебре вида (Ug[[/i]], Д, є, Ф, R), где R = R21 = ehe/2 для некоторого инвариантного симметрического 2-тен-зора в на д. Тривиальная деформация (C/g[[/i]], Д, є, 1 ® 1 ® 1,1 ® 1) соответствует случаю 0 = 0. Это завершает шаг 2. 580
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Шаг 3. Собирая вместе шаг 1 и шаг 2, мы видим, что как топологическая сплетенная биалгебра KOA Дринфельда-Джимбо Uh(Q) после калибровочного преобразования изоморфна некоторой сплетенной топологической квазибиалгебре вида
(U(B)[[h]},A,e^',R' = eht/2). (5.6)
Далее, KOA A0J из теоремы 4.2 имеет такой же вид, за исключением того, что Ф' может быть отлично от элемента Фкг алгебры A0^t. Это несоответствие покрывается теоремой 18.8.1, которая утверждает наличие калибровочного преобразования F'" на ?/(?)®2[[/i]] такого, что
(С/(0)[М], Д,?,Ф',Я' = eht/2) = (A0i4)f,,,. (5.7)
Полагая F = F' (Fn)-lF'", мы получаем изоморфизм между Uh(Q) и (Agj)F, что доказывает теорему 4.3.
19.6. Ассоциатор Дринфельда
Для того, чтобы построить элемент Фкг, упомянутый в теореме 4.2, мы рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
где G(z) есть формальный ряд от двух некоммутирующих переменных А и В с коэффициентами в аналитических функциях от комплексной переменной Z. Как и выше, h есть формальный параметр.
Уравнение (6.1) имеет особенности в точках 0 и 1. Замена z на Xjz показывает, что оно имеет также особенность в оо. Эти особенности регулярны, т. е. фуксовы. Теория таких уравнений является классической (см. [Was87]).
Пусть С — односвязное связное дополнение к объединению вещественных лучей ]—оо, 0] и [1, +оо[ в комплексной плоскости. Согласно фундаментальной теореме из теории линейных дифференциальных уравнений уравнение (6.1) имеет единственное аналитическое решение в С' с заранее фиксированным значением в произвольной данной точке в С. Так как само уравнение линейно по параметру h, эти решения зависят от h аналитически. Следовательно, их можно рассматривать как 19.6. Ассоциатор Дринфельда
581
формальные степенные ряды от переменной h. Заметим, что в случае h = 0 наше уравнение сводится к G'(z) = 0, решения которого являются константами.
Для начала мы изучим асимптотическое поведение решений уравнения (6.1) в особых точках 0 и 1. Положим H = ^^==.
Предложение 19.6.1. Уравнение (6.1) имеет, и притом единственные, решения Gо и Gі такие, что
ет аналитическое продолжение в окрестность точки 0 (соответственно точки 1) со значением в 0 (соответственно в 1), равным 1. Здесь функции zhA и (1 — z)hB корректно определены на односвязной области С.
Доказательство. Мы дадим доказательство для случая Go- Будем искать решение в виде
где P(z) = X^o PrZr- Предположим, нам удалось найти сходящийся ряд такой, что P(O) = Po = 1- Тогда функция Gq удовлетворяет требованиям предложения 6.1. Утверждение о единственности этой функции следует из единственности решений.
