Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе мы будем пользоваться некоторыми элементарными сведениями из дифференциальной геометрии. Мы сконцентрируемся на идеях Дринфельда, опустив несущественные для их понимания подробности так же, как мы поступали ранее в случае теории узлов.
19Л. Связности
Здесь мы предполагаем известными некоторые стандартные сведения из дифференциальной геометрии. Тем не менее напомним некоторые факты. За подробностями читатель может обратиться к [KN63]. 562
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Пусть X — комплексное аналитическое многообразие размерности п, а р: E —> X — комплексное аналитическое векторное расслоение на X ранга d. Для точки х многообразия X мы обозначаем через Fx слой в точке х\ Fx = р~1(х). Связностью на E называется некоторое линейное отображение V из пространства Г(Х, Е) сечений векторного расслоения E в пространство Q1(X1E) дифференциальных 1-форм со значениями в E такое, что для любого сечения s и любой комплексной аналитической функции / на X имеет место равенство
V(/s) = (d/)s + /V(s). (1.1)
Если Vi и V2 — две связности на Е, то их разность Vi — V2 является O(X)-линейной, где O(X) есть кольцо комплексных аналитических функций на X. Локально сечение s можно записать в виде
s = fiei + ... + fded, (1.2)
где /i,... , fd — некоторые комплексные аналитические функции на X, a {ei,... , Cd] — базис в слое. Любая связность V в расслоении E локально может быть записана как
Vs = ds - Ts, (1.3)
где d — дифференциал де Рама, а Г — дифференциальная 1-форма на X со значениями в кольце эндоморфизмов расслоения Е.
Сечение S векторного расслоения называется горизонтальным для связности V, если Vs = 0, то есть если локально s является решением системы уравнений
ds = Ts. (1.4)
Пусть 7: [0,1] —> X — гладкий путь в X из точки Xo = 7(0) в точку xi = 7(1). Мы можем взять прообраз матрицы Г из дифференциальных форм на X при отображении 7, получив матрицу A(9)d9 = 7Т дифференциальных форм на отрезке [0,1]. Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений существует единственное гладкое отображение A1 из [0,1] в группу линейных автоморфизмов слоя расслоения такое, что A7(O) = id и из(в) — Ау(0)гі;(О) является решением дифференциального уравнения
(1.5)
dw(6) d(9)
= A(O)w(O). 19.1. Связности
563
Автоморфизм A1(I) задает линейный изоморфизм T7 : Fxo —> F11, называемый параллельным переносом вдоль пути 7. Для пути 7' из точки х\ в X2 можно рассмотреть композицию путей 77', как в параграфе 10.9. Из теоремы единственности для систем дифференциальных уравнений первого порядка следует, что
Группа голономии в точке Xq определяется как подгруппа группы Aut(Fxo), порожденной операторами T7 для всевозможных петель 7 в X с началом и концом в точке Xq . Вообще говоря, группа голономии зависит как от глобальной, так и от локальной структуры X. Иначе говоря, при малых (инфинитезимальных) изменениях пути 7 изоморфизм T7 может меняться. Сформулируем условие на связность, при котором параллельный перенос зависит только от гомотопического класса пути.
Нам понадобятся понятия ковариантной производной и кривизны связности. Несложно показать, что связность V корректно продолжается до эндоморфизма пространства Q,*(X,E), который также обозначается через V и называется ковариантным дифференцированием, повышающего степень на 1 и удовлетворяющего условию
для любой пары (и,LJ1), где и> Є Slp(X) — обычная дифференциальная форма степени р и а/ Є ?l'(X, Е).
Лемма 19.1.1. Форма кривизны K = V о V является O(X)-линейной.
Доказательство. Пусть ш — дифференциальная форма, а / — некоторая функция на X. Мы имеем
K{fи) = V((df)u + /VH) = (d2f)u - (df)V(u) + (df)V(u) + fK(u) = = SK(u),
Локально форму кривизны можно выразить через Г следующим образом:
(1.6)
V(ww') = (du)uj' + (-l)pwV(u/)
так как d2f = 0.
?
К (a) = d(ds - Ts) - T(ds - Ts) = (-dT + Г А Г)а, 564
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
что приводит к формуле
К = -dT + Г Л Г.
(1.7)
В случае K = О говорят, что данная связность плоская. В этом случае Q*(X,E) превращается в коцепной комплекс с дифференциалом V.
Предложение 19.1.2. Для данной связности V равенство T7 = Ту имеет место для произвольной пары (7,7') гомотопных путей в X тогда и только тогда, когда эта связность плоская.
Это утверждение означает, что если K = 0, то для любой точки хо Є X параллельный перенос индуцирует гомоморфизм T из фундаментальной группы 7Гі(Х,хо) в Aut(Fxo). Он называется представлением монодромии фундаментальной группы, пространством представления которого является слой. Мы не приводим доказательства предложения 1.2, отсылая читателя к классической литературе.
19.2. Представления группы кос, происходящие из монодромии
Применим общие рассуждения из параграфа 1 к следующей ситуации. Предположим, что нам дано конечномерное векторное пространство W, целое число п > 1 и семейство операторов на W, удовлетворяющих условиям
для произвольных попарно различных целых i,j, к. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
