Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Нужно показать, что 6гпап = (-1)п+1оп+16п+1~\ Если г = 0, то мы имеем
і® ...<Э®„) = (-l)n(n+1)/2 1® Zcn ®...® Ici.
С другой стороны,
(-l)n+lon+18n+l(x1 ® ... ® хп) = (-1)(П+12"+2)-(п+1) T ® хп ® ... ® х1}
(п+1)(п+2) , .чч п!п+1)
что совпадает с предыдущим, поскольку *-^-1 — (п + 1) = -l^—-.
Если 1 ^ і ^ п, то мы имеем
Slnon(X1 ® ... ® хп) =
= (_i)«(«+i)/2 хп ® ... ® Д(Шп+І_І) ® ... ® X1 = = (_1)С"+1)("+2)/2-(п+1) ® . . . ® Дор(а.п+1_.) ® . . . ® S1 =
= (-1)П+1Оп+16%+1~г(х1®...®Хп).
Второе равенство выполняется по предположению относительно Д. ?
Из леммы 5.4 получаем, что коцепной комплекс (Т*(С), 6) является прямой суммой
Т* (С)= Tl(C) ® Tl(C) (5.3)
комплексов (T^(C), 6) и (Т*(С), 6), определяемых для всех п как
T^(C) = {и, Є Tn(C) I ап(ш) = ±и>). (5.4) 542
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
18.6. Действие полупростой алгебры Ли на кобар-комплексе
Вернемся к ситуации кокоммутативной коалгебры (С, А, є) с выделенным элементом 1 таким, что A(I) = 1 О 1. Предположим, что нам дана также алгебра Ли д, действующая на С так, что если обозначить через X • с результат применения элемента ? Є 0 к с Є С, то будем иметь ж- 1 = 0 и
в обозначениях Свидлера. Примеры, которые здесь подразумеваются, — коалгебры U(g) и 5(g), на которых 0 действует с помощью присоединенного представления.
Снабжая тензорные степени коалгебры С индуцированной структурой 0-модуля, получаем следующее утверждение.
Лемма 18.6.1. Кобар-комплекс (T'(C),S) есть комплекс д-модулей.
Доказательство. Достаточно проверить, что отображения S1n из параграфа 5 являются морфизмами 0-модулей. Пусть Ci,... ,Cn — элементы коалгебры С vi X E д. Для S^1 мы получаем
поскольку X • 1 =0. Для <5™+1 доказательство аналогично. Если 1 ^ і < п, то мы имеем из (6.1)
А(х ¦ с) = А(х) • Д(с) = • с' О с" + с' О ж • с"), (6.1)
(с)
п
(х ¦ (Cl (8)... (8) Cn)) = ]Г <*п(с1 ® • • • ® х ¦ °k О • ¦ • О Cn)
Tl
Jfc=I
= X-^(CiO1--OCn),
п
(я • (Cl О ... О Cn)) = О ... О X ¦ ск о • • ¦ О Cn) =
Jfc=I
= Ci О ... О ж • Cfe О ... О A(Ci) О ... О Cn +
Jb^i
+ Cl О ... О А(х ¦ Ci) ® ... О Cn = 18.6. Действие полупростой алгебры JIu на кобар-комплексе
543
= X • (ci (8)... <8> A(Ci) (8>... <8> Cn) = = х-0гп(сі®...®сп)
?
Заметим также, что подкомплексы (Т±(С),6) сохраняются при 0-действии, где коалгебра С снабжена тождественной инволюцией.
Далее мы ограничимся рассмотрением случая, когда 0 есть конечномерная полупростая алгебра Ли, действующая на С так, что С является прямой суммой конечномерных 0-модулей. Это имеет место в случае С = 5(g), а значит, и для изоморфной коалгебры U(д). Для произвольного 0-модуля V мы определим 0-подмодуль Vе как
Элементы подпространства Vе называются д-инвариантами. Подпространство gV, порожденное элементами вида х ¦ и, где х пробегает 0, а V пробегает V, также является 0-подмодулем модуля V.
Предложение 18.6.2. В сделанных выше предположениях каждый из комплексов (Т±(С),6) является прямой суммой соответствующих подкомплексов (Т±(С)В) и дТ±(С):
Доказательство. Легко видеть, что, так как конструкции V ь+ У8 и V 1—У gV естественны, Т±(С)0 и дТ±(С) являются подкомплексами комплекса Т±(С). Следовательно, для доказательства предложения достаточно проверить, что
для всех 0-модулей V, являющихся прямой суммой конечномерных 0-МО-дулей. Так как алгебра 0 полупроста и равенство (6.2) сохраняется при взятии прямой суммы 0-модулей, достаточно проверить (6.2) в случае, когда V — конечномерный простой модуль. Если V есть тривиальный одномерный модуль, то действие алгебры 0 нулевое, что влечет за собой V = Vе и gV = 0. Если V — нетривиальный простой модуль, то он соответствует некоторому старшему весу А Ф 0. Пусть v — старший вектор модуля V. Так как А Ф 0, найдется элемент Hi Є 0 такой, что Hi-V = A(Hi)V ф 0. Следовательно, v не принадлежит пространству Vе,
Ve = {v<EV I ®-« = 0 Vx Є 0}.
Т±(С) = Т±(С)0 ф дТ±(С).
V = V9 ф gV
(6.2) 544
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
и F0 Ф V. Так как модуль F прост, подмодуль F0 должен быть нулевым. С другой стороны, из того же самого соотношения видно, что gV ф 0. Снова апеллируя к простоте модуля V, мы получаем gV = V. В обоих случаях (6.2) выполняется. ?
18.7. Вычисления для симметрических коалгебр
В этом параграфе мы предполагаем, что к есть поле характеристики нуль. Сейчас мы вычислим группы когомологий комплексов (Te(C)7S) и (Т±(С),6) в специальном случае, когда С является симметрической биалгеброй С = (S(V), А, є), где V — некоторое конечномерное векторное пространство над к и
A(v) = V <8 1 + 1 <8 V и e(v) = 0 (7.1)
для всех элементов V Є V.
Теорема 18.7.1. В сделанных выше предположениях
(а) Имеется ровно одно отображение р: (T'(S(V)),5) -» (A*(F),0) дифференциальных градуированных алгебр, где внешняя алгебра Ae(F) наделена нулевым дифференциалом, такое, что ограничение отображения р на T1(S^F)) = 5(F) является проекцией на прямое слагаемое S1(F) = F = A1(F), а индуцированное отображение р* : Н*(Т*(S(V)),S) —> Ae(F) в когомологиях является изоморфизмом.
