Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
где тг'г+1 = idv®(i-i) ®idv®(„-i-i), D = exp(^ Yj<k ln(k tJb)-
Для доказательства этого утверждения представим образующую оі группы кос петлей z(s) = (zi(s),... , zn(s)), где
ф) = \(2г + 1 - гі+і(в) = \{2г + 1 + (3.11)
и Zj (s) = j для j ф г, г + 1. Тогда систему, полученную как прообраз (KZn) вдоль этого отображения, можно решить так же, как и в случае (б), поскольку tij коммутируют друг с другом.
Мы завершаем этот параграф несколькими наблюдениями, основанными на трех только что рассмотренных специальных случаях. Во-первых, во всех этих случаях монодромия является аналитической функцией комплексного параметра h, рассматриваемого в качестве переменной. Это верно для любой (KZ)-CHCTeMH согласно общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений: сами уравнения зависят от h линейно, поэтому решения зависят от h аналитически. Далее мы будем рассматривать монодромию как аналитическую функцию от h или как формальный ряд от h. Обозначим через (С/(д)[[/і]], А, є) тривиальную топологическую биалгебру, ассоциированную с биалгеброй (?7(д),Д, є), как в примере 3 параграфа 16.4. Для любого д-модуля V зададим на У[[Л]] структуру ?7(д)[[/і]]-модуля, индуцированную действием U7(g) на V. Напомним, что (F[[/i]])®n = У®п[[/і]] согласно предложению 16.3.2. Мы можем тогда выразить аналитическую зависимость монодромии системы (KZn) от h как групповой гомоморфизм
p™:Bn^Autc[M(V®n[[h}}). (3.12)
Из рассуждения в случае (а) мы видим, что представление сравнимо по модулю h с представлением, получаемым из действия (3.2) симметрической группы.
Следующее наблюдение состоит в том, что монодромия не зависит от g-модуля V. Это снова верно в полной общности, поскольку коэффициенты системы лежат в тензорных степенях алгебры U(д). Это можно доказать, используя теорию Чена формальных связностей и формальных монодр омий [Che73], [Che75], [Che77a].
Последним замечанием будет следующее: в случае (в), рассмотренном выше, монодромию можно получить из некоторой структуры топологической сплетенной биалгебры. Действительно, предположим,19.4. Теорема Дринфельда-Коно
573
что (U7(g)[[/i]], А,є) является тривиальной топологической биалгеброй, как и выше. Положим R = eht!2. Если t удовлетворяет соотношениям (3.9), то R как элемент алгебры C(g)[[/i]] ® ?^(д)[[^]] удовлетворяет соотношениям (16.4.15)-(16.4.17) сФ = 1®1®1. Доказательство этого утверждения аналогично тому, которое мы привели в примере 1 параграфа 16.5. Следовательно,
Am = (Щ9)[Щ},А,е,Ф = 1 ® 1 ® 1,Д = eht'2)
есть топологическая сплетенная биалгебра универсальная Д-матрица которой симметрична: i?2i = R- Любой g-модуль V расширяется до .А0іі-модуля V[[/i]], определенного выше. Универсальная Л-матрица R порождает представление
p«:?n^Autc[[/l]](y®np]])
группы кос Bn с помощью процедуры, описанной в параграфе 15.4. Сравнение с (3.10) дает следующее
Предложение 19.3.3. EcAut удовлетворяет условию (3.9), то монодромия системы (KZn) эквивалентно представлению группы кос, индуцированному универсальной R-матрицей R = ehtI2 топологической сплетенной биалгебры -A0)t, то есть мы имеем
KZ г* R г>—і Pn = DPnD ¦
В следующем параграфе мы обобщим этот результат на случай произвольного инвариантного симметрического 2-тензора t несмотря на то, что Ast может тогда перестать быть топологической сплетенной биалгеброй.
19.4. Теорема Дринфельда-Коно
В дополнение к предположениям, сделанным в параграфе 3, добавим требование, что алгебра Ли g полупроста. В этом случае существует топологическая сплетенная биалгебра
(Uh(s), Ah, ен,Фн = 1® 1® 1 ,Rh),574
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
получающаяся квантованием из обертывающей алгебры (см. параграф 17.2). Любой конечномерный g-модуль V можно каноническим образом расширить до Uh(Q)-MOруля V так, что V/hV = V. Действительно, если V = V\ есть простой g-модуль, ассоциированный со старшим весом А, то Va задается как тот ?7/1(д)-модуль, существование которого утверждалось в параграфе 17.2. Если V = фл Va есть прямая сумма простых g-модулей, то мы берем в качестве V модуль V = фл Va (см. также параграф 18.4). Универсальная Л-матрица Rfl индуцирует гомоморфизм
: Bn Autq[A]](V®n) = Autc[[A]](V®n[[/»]]) (4.1)
в группу автоморфизмов пространства формальных степенных рядов с коэффициентами в V®". С другой стороны, монодромия системы (KZn) дает гомоморфизм групп
PnZ Bn —>• Autcpj](V®n[[/i]]). (4.2)
Сформулируем теперь теорему Дринфельда-Коно.
Теорема 19.4.1. Если g есть полупростая алгебра JIu, a t Є g <8> g — инвариантный симметрический 2-тензор, заданный формулой (17.1.6), то представления группы кос р^z и рпн эквивалентны при всех п > 1 и для любого g-модуля V. Иначе говоря, существует С[[h]}-линейный автоморфизм D пространства V®n[[/i]] такой, что
p™(g)=Dp^(g)D-1 для всех элементов g группы кос Bn.
Оставшаяся часть настоящей главы посвящена доказательству этой важной теоремы, которая выражает геометрическую задачу в терминах квантовых групп и дает явное выражение монодромии уравнений Книжника-Замолодчикова в полупростом случае.