Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 158

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 199 >> Следующая


a(wi A... Awn)= eia)wc{\) ® • ¦ • ® Wcr(n), (7-7)

CreSn

где wi,... ,wn Є W, а є(а) есть знак перестановки а.

Предложение 18.7.6. Имеет место равенство d о а = 0, а индуцированное отображение a,: An(W) —> Нп(Т*(S(W)),d) является изоморфизмом при всех п ^ 0. Если pi: S1(Wr) —> W — естественная проекция на прямое слагаемое W = S1(W), а ц определено как композиция отображений

®п

ц : T9(S(W)) W®n -> Kn(W),

то ц является цепным отображением. Для всех элементов ш Є An(Wr) мы имеем (цо а)(ш) = піш.

Доказательство. Оно состоит из шести шагов и использует терминологию и результаты, приведенные в параграфе 11.

1. Сначала заметим, что бар-комплекс (T*(A),d) получается из комплекса (Т^(А), d') левых А-модулей следующим образом:

T9(A) = к®А Tl(A) и d = idk ®л dt, (7.8)

где T^1(A) = А ® А®п, а левый А-линейный дифференциал д! определяется равенствами

Tl—1

d'(a0 ® ...®ап) = ^(-1)гао <8 ... <8 oj_i <8 а^а*+1 <8 аі+2 <8 ... <8 ап +

г=0

+ (-1)па0<8...<8ап_іє(а„) (7.9)

для ао,... , ап Є А. Читатель легко проверит, что d! о d' = 0.

2. Мы утверждаем, что комплекс (T'(A),d') является резольвентой поля к по свободным левым Л-модулям. Для этого достаточно доказать, что комплекс

... Tt2(A) -?-* T1(A) Tft(A) к -> 0 18.7. Вычисления для симметрических коалгебр

549

ацикличен. Зададим отображение s: Ttn(A) —>¦ Т'п+1(А) формулой

s(ao <8 ... <8 ап) = 1 ® ао <8 .. • <8 ап (7.10)

и S : k -» Tq(A) — условием s(l) = 1. Простое вычисление дает

d's + sd' = id (7.11)

на всех Tln(A), откуда следует ацикличность комплекса (T'(A),d').

3. В случае, когда А есть симметрическая алгебра S(Wr), имеется другая резольвента поля к по свободным левым А-модулям: это — резольвента Кошуля (K9(W), д): Kn(W) = S(Wr) (8 An(Wr),

п

д(а ® Wi A ... A wn) = l)l+1au>j <8 Wi A ... A wl A ... A wn, (7.12)

і=1

где а Є S(Wr), UJi,... ,wn Є W, а знак ~ над Wi снова означает, что соответствующий элемент опущен. Проверьте, что д о д = 0.

Мы утверждаем, что (Km(W), д) есть резольвента для к. Это доказывается снова при помощи стягивающей гомотопии: зададим отображение h: Kn(W) -» Kn+i(W) равенством

m

h(wi... wm ®иj) = Wi .. .щ ... wm ® Wi Aw, (7.13)

г=0

где Wi,... , Wm Є Wr и ш Є An(Wr). Тогда будем иметь

(dh + hd)(P ® ш) = (m + n)(P®u) (7.14)

для всех P из Sm(W) и OJ из An(Wr). Из соотношения (7.14) видна ацикличность резольвенты Кошуля для градуировок > 0. Для градуировки 0 заметим, что коядро отображения д\ Ki(W) —> K0(W), заданного формулой д(а ® w) = aw, изоморфно к.

Так как e(w) = 0 для всех w Є Wr, индуцированный цепной комплекс (k <8s(w) К,(W), idfe <8s(w) д) изоморфен комплексу Ae(W) с нулевым дифференциалом:

(k ^.(W)jIdkOw Э) = (Ae(W)1O). (7.15) 550

Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости

4. Сравним резольвенты [K9(W), д) и (Tl(S(W)),d).

Лемма 18.7.7. Отображение idg^)®0^ -» Tl(S(W)) являет-

ся цепным отображением над тождественным отображением.

Доказательство. Мы должны доказать, что

d! о (idS(W) <g> a) = (idS(W) ® а) о д. (7-16)

Так как все отображения в (7.16) являются S(W)-линейными, достаточно проверить это соотношение на элементах вида 1 <8 W1 A ... A Wn, где wi,... ,wn принадлежат W. По определению мы имеем

d'((ids{w) <8 сг)(1 <8 uji A ... A Wn)) = Z1 + Z2 + Z3,

где

Z1= ^ Ф)™а(1) ® ¦ • • ® ™<т(П),

o-eSn

n-1

Z2 = IQ J^(-l)1 Yl eHwMi) ® • • • ® w<j{i)wa{l+1) <8 -.. <8 wa[n)

i=l ueSn

и

z3 = 1 о (-1)" y ф)™*(1) <8 • • ¦ <8 t»f(„-i)e(^w). <r€Sn

Сначала разберемся с Z1. Мы имеем

п

Z1 = Y E <8... (Suyn).

<=1 <t€S„ а(1)=г

Применяя циклическую перестановку (12... г), знак которой (—1)г+1, получаем из (7.12)

п

Z1 = (ids(vK) ®а)( ®wi А ¦¦ ¦ Лщ Л ... Л WnsJ

і і

= (ids(iv) <8 ?*)(<Э(1 ® UJi А ... A Wn)). 18.7. Вычисления для симметрических коалгебр

551

Соотношение (7.16) будет доказано, как только мы проверим равенство нулю элементов Z2 и Zs. Для Z2 мы имеем

Y є(ст)™ст(і) (8)... (8) waii)waii+1) ® • • • ® WV(Ti) =

<reSn

= Y ф)™<7(1) <8> ¦ ¦ • ® W<T(i)Wa(i+1) (8)---(8) Wtrin) + (TeSn

a(i)<a(i+1) V—4 , . „ „ „ „

+ 2^ eH^(I) »...Ow^jw^j+i)®... <8>uv(„).

ceSn <j{i+l)«j{i)

Меняя местами г и г +1, мы видим, что второе слагаемое равно первому с противоположным знаком. Это доказывает равенство нулю суммы

Y eHuV(I) ® • • • ® ™a(i)wcr(i+1) ® ¦ ¦ • ®

CteSn

а значит и элемента Z2. Наконец, Z3 = 0, потому что e(w) = 0 для всех W eW = S1(W). ?

5. Согласно следствию 11.2 существуют 5(VF)-линейные отобра-жения ?: rn(S{W)) Xn(VF), Ai: U(S(W)) Tj^S(VF)) и A2 : Kn(W) ->¦ X„+1(VF) такие, что d? = /3d',

(idS(iv)®a)/? = id + d'Ai+Aid' и /?(ids(W) ®cr) = id + dh2 + h2d. (7.17)

Тензорно перемножая две резольвенты слева на к над S(Wr), получаем, что отображение

idk ®5(w) (MsiW) ® «) = а: (Ae(VF)jO) Te(S(VF))1 d)

индуцирует изоморфизм в гомологиях: действительно, согласно (7.17) цепные отображения а о (idt <8>s(w) ?) и (id^ <8>s(w) ?) 0 a гомотопны тождественному.
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed