Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
факторизуется до отображения фактор-пространства E = (Yn х W)/Sn 5п-орбит в Yn x W. Таким образом, топологическое пространство E становится пространством нетривиального расслоения над Xn со слоем W. В пространстве E мы имеем
(zu... ,zn; aw) = (Ztril),... ,Ztrin)-,w). (2.7)
Далее, если система дифференциальных уравнений (2.3) инвариантна относительно действия группы Sn, то связность V = d — Г корректно задает связность в Е. Если соотношения (2.1), (2.2) удовлетворены, то она задает представление монодромии фундаментальной группы пространства Xn, которая согласно предложению 10.6.14 есть вся группа кос Bn.
19.3. Уравнения Книжника-Замолодчикова
Сейчас мы рассмотрим систему дифференциальных уравнений, которая является специальным случаем системы, приведенной в параграфе 2, и определяется по следующим данным: (І) конечномерной комплексной алгебре Ли д, 19.3. Уравнения Книжника-Замолодчикова
569
(ii) инвариантному симметрическому 2-тензору t на д, то есть элементу t = ^r xr ® уг пространства g ® g такому, что
t2l = t и [Д(®),4] = 0 (3.1)
для всех X є g,
(iii) комплексному параметру h,
(iv) целому числу п > 1 и
(v) конечномерному g-модулю V.
Определение 19.3.1. Система дифференциальных уравнений Книжника-Замолодчикова, ассоциированная с указанными выше данными, — это система
dw = -~7= Y —~—{dzi — dzj)w, (KZn)
2,тт у—1 . Zi Zj 1 J
где w = w(zi,... ,zn) есть функция на Yn со значениями в W = V®11, а Uj есть элемент алгебры U(g)®n, равный для произвольных і ф j
г
(») 0) (*0 1 где, в свою очередь, Xr = Xr, Xr = Уг И Xr = 1 во всех остальных
случаях.
Лемма 19.3.2. Элементы (ii;)i<i<7^n порождают операторы в V®n, удовлетворяющие соотношениям (2.1), (2.2).
доказательство. Соотношения (2.1) выполняются по определению операторов tij. Соотношения (2.2) следуют из g-инвариантности элемента t. Мы покажем это для случая i = l, j = 2vik = 3. Имеем:
[<12, + <гз] = У] \хг ® Уг ® xs ® 1 ® ys + 1 ® Xs ® уд] =
Г,S
= [XIxr ® yrixs ®1 +1 ® ® г/« =
S г
= Y [t, ® ys = о
S
согласно (3.1). ? 570
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Лемма 3.2 и предложение 2.1 означают, что система (KZn) определяет плоскую связность в тривиальном расслоении над Yn со слоем V®71 и, следовательно, задает представление монодромии
Plz-. TTi(У„) ->• Aut(Ven).
Докажем, что эта монодромия продолжается до представления всей группы кос Bn. Как объяснялось в конце параграфа 2, мы должны зафиксировать некоторое левое действие симметрической группы Sn на пространстве W = V®71. В качестве такого действия мы возьмем
a(vi <8 ... <8 vn) = ^ct-I(I) <8 ••• <8 Va-Цп) (3-2)
для a E Sn и vi,... ,vn EV. Для 2-тензора t, который симметричен по предположению, мы имеем tij = tji для любой пары (i,j) различных целых чисел. Отсюда систему (KZn) можно записать в виде
dw = —-F= У ———(dzi — dzAw. (3.3)
4 TrvcrI Zi-Zjx 1 3> у '
1 ^n
ІФІ
Система (3.3), очевидно, инвариантна относительно действия симметрической группы. Отсюда мы получаем представление монодромии
р™ . вп = Tr1(XniP) -»¦ Aut(Fl8n). (3.4)
Здесь мы взяли р = (1,2,... ,п) в качестве базисной точки в Xji и отождествили слои расслоения E = (Yn X V0n)/Sn в точке р с V®n.
Основная цель этой главы состоит в вычислении представления монодромии P^z в явном, насколько это возможно, виде исходя из приведенных выше данных. Это непростая задача. Для начала мы рассмотрим следующие специальные случаи.
(а) Случай h = 0: наша система дифференциальных уравнений превращается в уравнение dw = 0, которое имеет постоянные решения на Yn. Соответствующее представление монодромии есть представление группы Bn в пространстве Vl8n1 порожденное действием (3.2) симметрической группы. 19.3. Уравнения Книжника-Замолодчикова
571
(б) Случай п = 2: система (KZ2) сводится к
dw - —-7= —-— (dzi — dz2)w. (3.5)
Для вычисления монодромии представим образующую о\ группы кос B2 петлей z(s) = (zi(s), z2(s)), где s пробегает отрезок [0,1] и
= ^(3-^') И Z2{8) = \ (3 + Є^).
Мы имеем 2(0) = z( 1) = (1,2) = (2,1) в X2. Взяв прообраз (3.5) при отображении z(s), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
dw ht
- = -W(s), (3.6)
единственное решение которого есть
w(s) = ehts'2w( 0), (3.7)
где ehts!2 есть классическая целая функция, задаваемая рядом ehts!2 = = Yln> 0 ^"пГ ' СХОДЯЩИМСЯ В Aut(V® V") при всех значениях комплексного параметра h. Положив в (3.7) s = 1, мы получим действие монодромии образующей ai, а именно
Pfz(Ul)(VlQV2) = TvyiehtI2(VlQV2)) (3.8)
для всех vi, v2 Є V. Переставляющее отображение присутствует в (3.8) вследствие равенства
(2,1; vi Q v2) = (1,2; v2 Qvi)
в нетривиальном расслоении E = (Y2X V®2)/S2.
(в) Предположим, что п ^ 2 и для всех i,j, k, I выполнено условие
[Uj,tu] = (3.9)
Мы утверждаем, что в этом случае действие монодромии группы Bn задается на образующих oi,... , стп_ і формулой
PnzHHvi ® ... ® vn) = Dri'^1 (е^+112(Vі ® ... ® vn))D~\ (3.10) 572
