Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
6. Легко проверить, что р является цепным отображением, то есть аннулируется на всех элементах вида
71 — 1
є(аі)а2 ® ... ® а„ + ?(-1)1аі ® ... ® щ-і ® ajaj+i ® щ+2 ® ... ® а„ + i=l
+ (-If+1O1 ® ... ® а„_іє(ап). Оставшаяся часть предложения 7.6 очевидна. ? 552
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Теперь мы докажем теорему 7.1.
Доказательство теоремы 7.1. (а), (б) С помощью лемм 7.3-7.5 рассмотрим утверждение, двойственное к предложению 7.6. Мы по-прежнему должны доказать, что отображение /х: Tn(S(W)) -» An(Iy) является транспонированным к отображению антисимметризации a: An(V) —> Tn(S(V)). Действительно, проверим, что
(fi(X),u>) = {Х,а(и>)) (7.18)
для всех однородных элементов X Є Tn(S(W)) и и; є Kn(W). Если X принадлежит Sdl (W) Q ... Q Sdn (W), где (db... ,dn) ф (1,... ,1), то обе части равенства (7.18) равны нулю. Если X = Wi1 <8 ... <8 wln, где Wi1,-¦¦ ,Win Є W, то
(?(wh ® win),Vjl A... Avjn) = (Wil А ... A Win, Vjl A... Avjn)
обнуляется, когда набор (н,... , гп) не получается перестановкой из набора (ji,... ,jn). В противном случае правая часть равна знаку перестановки. С другой стороны, равенство
(wh (8 ... <8 win,a(vjl А ... A vjn)) =
= ® • • • ® Wini va{jl) (8 ... (8 VtrQn))
aeSn
дает тот же результат. Это доказывает (7.18).
(в) С помощью /х и а мы найдем действие инволюции а в когомоло-гиях комплекса (T*(5(F)),<5). Из (5.2) мы имеем
(ц о оп о a)(v! A... Avn) = (-1)^"+1)/2 Y е(а) n(vc{n) (8 ... <8 «ff(1)) =
creSn
= (_1)»<»+1)/2 ^e(„)MB)A...AVl).
<r€Sn
Сделаем замену переменных по формуле а = а'т, где г есть перестановка (1, п)(2, п — 1)... знака (—1)п(п_1)/2. Получим
(ц о ап о о) (Vl A... Avn) = (-1 )пп\ V1 A... Avn. (7.19)
Из утверждений (а), (б) теоремы 7.1 и из равенства (7.19) мы делаем
ВЫВОД, ЧТО O2n действует В КОГОМОЛОГИЯХ тождественно, а 0"2п+1 -
умножением на —1. ? 18.8. Теорема единственности квантовых обертывающих алгебр
553
18.8. Теорема единственности квантовых обертывающих алгебр
В этом параграфе мы будем иметь дело с квантовыми обертывающими алгебрами, которые как квазибиалгебры изоморфны тривиальной топологической биалгебре [/(g) [[/г]] формальных степенных рядов над обертывающей алгеброй конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли д. Сформулируем вторую теорему жесткости.
Теорема 18.8.1. Предположим, нам даны квантовые обертывающие алгебры А = (?/(д)[[/г]], Д, є, Ф, R) и А' = (17(д)[[/ї]], А, є, Ф', R) одной и той же конечномерной полупростой алгебры JIu д, которые имеют одну и ту же универсальную R-матрицу R, удовлетворяющую услови-ям R2I = R, R = 1 <8 1 (mod/г) и R = A(u)V, где и Є U(g)[[h]], а V лежит в центре алгебры (U(q) <8 ?/(д))[[^]]- Тогда существует калибровочное преобразование F в алгебре (І7д<8і7д)[[/г]], удовлетворяющее условиям F2I =F,F~ 1 <8> 1 (mod/г) и [F, Д(а)] = 0 для всех a Є А, такое, что А' = Af-
При калибровочном преобразовании F, удовлетворяющем условию теоремы 8.1, Д и R не изменяются. Действительно, по определению Af (см. параграф 15.3) и из последнего условия, наложенного на F1 мы имеем Діг(о) = FA(a)F~1 = Д(а) для всех а Є А. Что касается R, то из равенства (15.3.9) мы имеем Rf = F2\RF~l = FRF-1. Теперь ввиду третьего предположения относительно R мы имеем
[R, -F1] = [A(«)V,F] = [A(u),i4V + A(u)[V,F] = 0.
Следовательно, Rf = R-
Заметим, что мы можем применить (и применим) теорему 8.1 к случаю, когда R = CfltI21 где t есть 2-тензор из (17.1.6). Действительно, мы имеем R2I = RnR = IQl (mod/і). Кроме того, соотношение (17.1.6) означает, что
R = А{екс^){е~нс^ Qe-hcIi). Доказательству теоремы 8.1 мы предпошлем следующую лемму.
Лемма 18.8.2. Пусть (А, А, є, Ф, R) — кокоммутативная квантовая обертывающая алгебра такая, что R2\ = R и R= IQl (mod/і). Тогда
Фз2і = Ф-1- 554
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Доказательство. Для начала мы утверждаем, что
Ді2(Д ® id)(R) = Ф32іД2з(і<і ® Д)(Д)Ф. (8.1)
Действительно, мы имеем
Лі2(д ® id) (R) = іг12Фзі2ігіз(Фіз2)_1іг2зФ =
= Ф321-Й23(Ф231)_1-Й13Ф213-Й12 = = Ф.32ІД2З(І<І<8> Д)(Д)Ф.
Первое и последнее равенства вытекают из предложения 15.2.2, а среднее — из следствия 15.2.3. Далее применим к А® А® А инволюцию Ti3. Так как Д = Дор и R = R2I, соотношение (8.1) превращается в следующее:
R23(id ® Л)(R) = ФR12(A ® і(1)(Д)Фз2і. (8.2)
Сопоставляя соотношения (8.1), (8.2), получаем
(Лі2(Д ® id)(-R))2 = ф-гіг2з(ісі ® Д)(Л)Фз2\Ф32іЛ2з(і<і ® Д)(Л)Ф = = $~1(R23(id®A)(R))2<!>.
Используя единственность квадратных корней из элементов, сравнимых с 1 по модулю h, мы получаем
Лі2(Д ® id)(R) = Ф^Дгз^ ® Д)(Д)Ф. (8.3)
Сравнивая (8.1) и (8.3), мы делаем вывод, что Ф321 = Ф-1. ?
Доказательство теоремы 8.1. Мы должны показать, что найдется калибровочное преобразование, переводящее Ф в Ф'. Предположим, что Ф сравнимо с Ф' по модулю hn для некоторого n ^ 1. Это всегда выполняется для n = 1, так как Ф и Ф' сравнимы с 1 ® 1 ® 1 по модулю h. Определим элемент <р Є J7(fl)®3 из равенства
