Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем теперь существование семейства (Pr)r^o такого, что Po = 1, и Gq(z) является формальным решением уравнения (6.1). Мы имеем
G0(z) = P(z)zhA,
(6.2)
C0(Z) = (P1(Z) + hP(z)?) Z*A = ft (± + JL) p{z)
z
ПА
Следовательно,
zP'(z) - h[A,P(z)] = -HB^?^-.
1 — z
(6.3)
Разлагая (6.3) по степеням z, получаем [А, Po] = 0, и для г > 0 гPr - Н[А,РГ] = -НВ(Р0 + ... + Рг_j).
(6.4) 582
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Уравнения (6.4) имеют решение. Действительно, возьмем Po = 1; тогда Pr однозначно определяется по Po,... , Pr-\ благодаря тому факту, что оператор г id — ft ad( А) обратим и обратный к нему есть
Сходимость ряда P(z) следует из общего факта, что формальное решение уравнения с регулярной особенностью всегда сходится. Мы отсылаем к [Was87, параграф II.5] за деталями.
Аналогично доказывается существование аналитической функции Q(z), заданной в некоторой окрестности точки 0 такой, что
Так как функции Gq и G\ обе являются решениями уравнения (6.1), они должны отличаться на обратимый множитель.
Определение 19.6.2. Зададим элемент Ф(А, В) требованием Gq(z) =
Элемент Ф = Ф(А, В) по определению принадлежит алгебре S формальных степенных рядов от некоммутирующих переменных А и В с коэффициентами в С [[/г]] (переменная h коммутирует с А к В). Он называется ассоциатором Дринфельда. Такой термин оправдывается результатами параграфов 7, 8 и 20.6.
Мы завершаем этот параграф явным выписыванием Ф в терминах итерированных интегралов и многомерных дзета-значений, определенных в параграфе 11. Для произвольного вещественного числа а такого, что 0 < а < 1, пусть Ga(z) обозначает единственное решение уравнения (6.1) такое, что Ga (а) = 1. Элемент Ф связан с решениями Ga следующим образом:
Лемма 19.6.3. Мы имеем
Gl(z) = Q(l-z)(l~z)hB,
(6.5)
когда г близко к 1.
?
= С^)Ф(А,В).
Ф(А, В) = lim a~hBGa( 1 - a) ahA. 19.6. Ассоциатор Дринфельда
583
Доказательство. Пусть а — положительное вещественное число, достаточно близкое к 0, так что определено Р(а) в формуле (6.2). Так как Go и Ga оба являются решениями уравнения (6.1), они должны отличаться на мультипликативную константу, которую можно получить, сравнив эти решения в точке z = а. Мы имеем
Ga(z) = G0(Z)G0(U)-1 = G0(z)a~hAP(a)-1 (6.6)
для всех z. Когда г близко к 1, мы получаем из (6.5)
Gl(z) = Q(l-z)(l-z)hB. (6.7)
Полагая z = 1 — а и применяя (6.6), (6.7) и определение 6.2, получаем
a~hBGa( 1 - a) ahA = a~hBG0( 1 - a) a-hAP(a)~lahA = = a~hBQ(a) ahBФ а-ПАР(а)~1аПА.
Если а стремится к 0, то Q(a) и Р(а) стремятся к 1. Следовательно, правая часть последнего равенства стремится к Ф. ?
Пусть b Є JO, 1 [ - Согласно методу аппроксимаций Пикара (см. параграф 11) значение Ga (Ь) решения Ga можно вычислить в терминах итерированных интегралов. Точнее, мы имеем
Са(Ь) = 1 + ? (/6Q(M)W (6.8)
где M пробегает множество всех мономов, составленных из А и В, а J^Cl(M) есть итерированный интеграл, полученный заменой каждого вхождения А в M на. 1-форму Ш о, а каждого вхождения В — на hu і, где
1 ds 1 ds
Hq = -== — И 1Z і = --==¦ -7-
2тгУ^Т s I-Ksf=I s - 1
Согласно формуле (11.5) из параграфа 11, если моном M начинается с А и заканчивается на В, то есть имеет вид ApiBqi... ApkBgk, где р\ > О и Qk > 0, то предел
fl—a
lim
lim I "aO(M) 584
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
существует и равен
lim Ґ V+-^Qg1Qf ...Qp0kQq0" =h^+-+^T(puqi,... ,pk,qk), a->° Ja
(6.9)
где комплексные числа т(р\, q\,... ,pk,qk) определены и вычислены в параграфе 11 в терминах многомерных дзета-значений. Если моном M начинается с В или заканчивается на А, то интеграл Jq1 а Q(M) расходится при а, стремящемся к 0. Чтобы избавиться от таких «расходящихся» мономов, мы рассмотрим С[[/г]]-подмодуль S формальных рядов из S, порожденный всеми мономами, начинающимися с А и заканчивающимися на В. Пусть 7г: S S — проекция, тождественная на S и отправляющая «расходящиеся» мономы в 0. Очевидно, что 7r(Ga(l — a)) имеет в S некоторый предел Г при а, стремящемся к 0. Из (6.8), (6.9) мы получаем следующее явное выражение для предела Г:
Г = 1 + ? ? /»Pl+-+Wr(pi,<7i,... ,pk,qk)A^BqK..Ap"Bqk.
fc^l Pi,91,... ,Pk,Ik^
(6.10)
Вычислим теперь Ф в терминах Г. Рассмотрим алгебру S[a. ?] многочленов от двух коммутирующих переменных а и ? с коэффициентами в S. Любой моном из S[a, ?] единственным образом может быть записан в виде ?pMaq, где M есть моном из S. Зададим С[[/і]]-линейное отображение /': S[a,?] S формулой f'(?pMofl) = BpMAq. Это позволяет построить С[[/г]]-линейный оператор / на S по формуле
f(T(A,B)) = f'(T(A-a,B-?)), (6.11)
где Т(А,В) — произвольный элемент алгебры S. Заметим, что если M есть «расходящийся» моном из S, то есть начинающийся с В или заканчивающийся на А, то f(M) = 0. Кроме того, если M — произвольный моном из S, то /(M) = M + N, где N есть сумма «расходящихся» мономов, обнуляемых отображением /. Следовательно, /2 = /, т. е. является идемпотентным оператором на S. Следующее утверждение дает явное выражение для Ф = Ф(А, В) в терминах многомерных дзета-значений из параграфа 11. 19.6. Ассоциатор Дринфельда
