Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Ф' = Ф + hn<p (mod /іп+1).
Пусть Ant (<р) обозначает элемент
Ant(^j) = <р — ?>213 - ?>132 - ?>321 + ?>231 + ?>312, (8.4) 18.8. Теорема единственности квантовых обертывающих алгебр
555
лежащий в {7(g)®3. Первым шагом доказательства теоремы 8.1 будет следующая лемма, сформулированная в тех же предположениях.
Лемма 18.8.3. Элемент <р является g-инвариантным и удовлетворяет соотношениям </?згі = — Ant(</?) =Ou
1 ® с/? - (Д ® id ® id) (</?) + (id ® Д ® id) (</?) - (id ® id ® Д)(</?) + (</? ® 1) = 0.
Доказательство, (а) Так как коумножение Д коассоциативно, соотношение (15.1.1) можно переписать в виде
[(Д®і^(Д(х)),Ф] =0
для всех x Є fl, откуда следует, что Ф и Ф' являются д-инвариантными, то есть принадлежат подпространству (C/(g)®3)fl[[/i]]. Следовательно, </? также д-инвариантен.
(б) Лемма 8.2 означает, что
Ф321 = Ф321 + hn<p32i = (Ф'Г1 S (ф + hnip)~l = Ф"1 - hn<p (modhn+1).
Отсюда v?32i = —<р.
(в) Докажем теперь, что Ant(</?) = 0. Применим равенство (15.2.3) к Ф и Ф':
(Д ® id)(Л) = Ф312Л13(Ф132)"1Л23Ф = Ф^2Ліз(Ф'і32)_1Л2зФ'. Приводя это равенство по модулю hn+1, получаем
^312 - V132 + ^ = 0. (8.5)
Так как </?32i = — <р, соотношение (8.5) дает
V213 + V231 - V321 = 0. (8.6)
Складывая соотношения (8.5), (8.6), получаем
Ant(<р) = <р- V?213 - V3132 - V321 + V3231 + V312 = 0.
(г) Применяя соотношения пятиугольника (15.1.3) к Ф и Ф', получаем
(1 ® Ф')(і(і ® Д ® id)(Ф/)(Ф/ ® 1)(Д ® id ® ісі)(Ф')—1 (id ® id ® Д)(Ф')-1 = = (1®Ф)(іа® A®id)^)^®l)(A®id®id)^)_1(id®id® Д)(Ф)-1 = 1.
Приводя это равенство по модулю hn+l, получаем требуемое пятичлен-ное функциональное соотношение на <р. ? 556
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Следующим шагом будет
Лемма 18.8.4. Существует д-инвариантный элемент f Є U(g)®U(g) такой, что
?> = 1®/-(A®id)(/)+ (id®Д)(/)-/®1 и f2i = Z-
Доказательство. На языке когомологий параграфа 5 лемму 8.3 можно перефразировать, сказав, что </? есть д-инвариантный элемент пространства С/(д)®3, удовлетворяющий соотношениям
6((р) = 0, Cr3 (<р) = -<р и Ant (<р) = 0. (8.7)
Первые два соотношения в (8.7) означают, что <р является 3-коциклом кобар-комплекса (Т* (U(д)), 6). Мы утверждаем, что <р есть кограница. Если применить изоморфизм коалгебр rj: 5(g) —> U(д), то останется проверить, что ф = (rj"1 <S>rj~l)(ip) есть кограница в (Tl(5(g)), S). Мы также имеем Ant (ф) = 0. Согласно утверждению (в) теоремы 7.1, мы имеем Н3(Т1 (5(g)), 6) = A3(g), где изоморфизм индуцируется отображением р. Следовательно, достаточно проверить, что р(ф) = 0. Далее, равенство Ant(ф) = 0 означает, что Ant((/x ® р ® р)(ф)) = 0. Непосредственное вычисление дает а(ц(ф)) = Ant((/x ® р® р)(ф)). Следовательно, мы имеем из теоремы 7.1
1 1 Р(Ф) = g ц(а(ц(ф))) = g /x(Ant((/i ® р ® р)(ф))) = 0,
что означает тривиальность когомологического класса элемента ф.
Так как 3-коцикл </? является кограницей, найдется элемент f Є Є T2(U(g)), то есть элемент f Є U(g)®2 такой, что Z21 = Z и V3 = <HZ)> то есть
V? = 1 ® Z - (А ® id)(Z) + (id ® A)(Z) - Z ® I- (8.8)
Таким образом, мы доказали лемму 8.4 по модулю того факта, что f можно выбрать д-инвариантным.
Последнее утверждение является следствием предложения 6.2, примененного к коалгебре U(g), на которой g действует присоединенным представлением (именно здесь мы используем полупростоту алгебры д). Так как комплекс (Tl(U(g)),S) расщепляется в прямую сумму комплексов (Tl(U(g))в,6) и (gTl(U(g)),6) и так как ip принадлежит Т?({7(д))0, элемент Z должен принадлежать T2 ({7(g))0. ? 18.9. Упражнения
557
С помощью элемента /, существование которого утверждается леммой 8.4, мы получаем калибровочное преобразование
F = IQl + hnf. (8.9)
g-Инвариантность элемента / означает, что [F, Д(ж)] = 0 для всех X Є U(g). Мы имеем также F2\ = F. Мы уже знаем, что Д и R остаются неизменными при таком преобразовании. Вычислим Фі? по модулю hn+1. Из (8.8), (8.9) и (15.3.3) мы получаем
Ф' - ФЕ = hn(ip - (1 Q f - (AQ id)(/) + (id ® Д)(/) - f Ql)) = О,
что по-другому можно выразить равенством Ф' = Фр (mod/in+1). Теперь зададим элемент ір\ Є U(б)®3 равенством
Ф' = ФР + hn+1<p і (mod hn+2)
и начнем всю процедуру с начала. Взяв композицию всех наших калибровочных преобразований, полученных таким образом, получим калибровочное преобразование между квазибиалгебрами А и А'. Это завершает доказательство теоремы 8.1. ?
18.9. Упражнения
1. Вычислите H2 (д, С) для всех комплексных алгебр Ли размерностей ^ 3.
2. Покажите, что пространство примитивных элементов произвольной коалгебры С можно представить как первую группу когомо-логий H1(Tm(C)J).
3. Дайте прямое доказательство теоремы 7.1 в случае одномерного пространства V.
4. Пусть п ^ 2 — целое число. Рассмотрим алгебру А = k[t]/(tn — 1). Пусть N — элемент алгебры А вида N = 1 +1 + ... + tn~l. Покажите, что
... J=i+AJUA±±+AJL+AJzi+A
вместе с аугментацией є: А —>• к, заданной условием є(1) = e(t) = = 1, есть резольвента поля к по свободным левым А-модулям.
