Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(б) Отображение антисимметризации a: An(V) -» Tn(S(V))j заданное формулой
a(vі А ... A vn) = Y ® ' • • ® М")
<reSn
для всех v\,... ,vn, является отображением комплексов, то есть <5 о а = 0. Кроме того, для всех ш Є An(F) мы имеем р(а(ш)) = п\ш.
(в) Для всех n ^ 0 отображение р индуцирует изоморфизмы в когомологиях
H2n(T+(S(V)),6) 9i A2n(V), H2n+1(T+(S(V)),S) S 0
и
H2n(T-(S(V))J) S О, H2n+1(T-(S(V)),S) S A2n+1(F).18.7. Вычисления для симметрических коалгебр
545
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству теоремы 7.1. Идея состоит в рассмотрении комплекса, двойственного к (T'(S(V)), 6), и вычислении его гомологий. Определение внешней алгебры см. в главе 2, упражнение 6.
Для начала нам понадобится понятие градуированного двойственного векторного пространства: если V = фп>0 Vn есть векторное пространство с Z+-градуировкой, то градуированное двойственное линейное пространство V задается как
(7.2)
Это определение можно применить к пространствам T(V), S(V), A(F) и T(S(V)) с их естественными градуировками. Если V = ф„>о Vn и W = ф„>о Wn — градуированные векторные пространства, то мы можем рассмотреть их тензорное произведение, градуированное следующим образом:
(VQW)n= 0 VpQWq. (7.3)
p+q=n
Лемма 18.7.2. Предположим, что пространства V = ф„>о vn и W ~ Фп>о градуированы так, что Vn и Wn конечномерны при всех п. Тогда имеет место канонический изоморфизм
V*r Q W*r = (V Q W)*gr.
Доказательство. Проводится непосредственно, используя тот факт, доказанный в параграфе 2.2, что этот изоморфизм имеет место для конечномерных векторных пространств. ?
Пусть (С, А, є, 1) — некоторая градуированная коалгебра с единицей, то есть векторное градуированное пространство С = ф„>о Cn с диагональю Д и коединицей є, сохраняющими градуировку (поле к снабжается тривиальной градуировкой, сосредоточенной в нуле), и элементом 1, принадлежащим Со- Если пространство Cn для всех п конечномерно, что мы далее и предполагаем, то, очевидно, алгебра А = Cgr градуирована с An = С*, имеет умножение, заданное транспонированным к Д отображением Д*, единицу є* и гомоморфизм алгебр є: A-* к,
vV = Wv*-
п>0546
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
определенный по формуле є(а) = а(1). Отображение є будет называться аугментацией алгебры А.
Из соотношений, определяющих S, видно, что комплекс (Т*(С),6) из параграфа 5 есть комплекс с градуировкой. Применяя лемму 7.2, получаем
Tn(C)*gr = Tn(C*r) = Tn(A). (7.4)
Лемма 18.7.3. Отображение d = <5*, транспонированное к 6, задается формулой
d(a\ <8 ... <8 ап) = є(аі)о2 <8> ¦ • ¦ <8 ап +
n-1
+ 1)1аі <8>... <8> asi-i <8 ajOi+i (? ai+2 (8 ... <8 an +
i=1
+ (—l)"ai (8 ... <8 ап-іє(ап) для всех ai,... ,an Є A.
Цепной комплекс (T*(A),d) называется бар-комплексом аугменти-рованной алгебры А.
Доказательство получается применением обеих частей равенства к х\ <%>... (? хп, где Xi,... ,хп принадлежат С. ?
Лемма 18.7.4. В сделанных выше предположениях когомологии комплекса (Т'(С),8) представляют собой градуированное двойственное пространство к гомологиям комплекса (T'(A),d).
Доказательство. Это утверждение является следствием того факта, что функтор двойственности является точным и что бидвойственность является естественным изоморфизмом для конечномерных линейных пространств. ?
Для доказательства теоремы 7.1, следовательно, достаточно вычислить гомологии цепного комплекса (T*(S(V)*r,d). Сначала мы изучим алгебру S(V)* .18.7. Вычисления для симметрических коалгебр
547
Лемма 18.7.5. Если V — конечномерное линейное пространство над полем к характеристики нуль, то градуированное двойственное пространство к градуированной коалгебре с единицей 5(F) является градуированной аугментир о ванной алгеброй S1(Wr), где W = V* есть двойственное к V векторное пространство.
Доказательство. Пусть {ui,... , ujv} — некоторый базис пространства V. Тогда {и^1 ... u^A'}Ql+...+QN=n есть базис пространства Sn(V). Зададим базис {Ц*1 ... ш^}аі+...+адг=п в Sn(F)* условием
K1 ... w%N, v?i ... v?NN) = Sau?l ... S0lfl ^a1I... aN\. (7.5)
Умножение *: Sn(F)* ® Sm(V)* -+ Sn+m(F)* в S(F)*r задается по определению отображением, транспонированным к коумножению Д. Мы имеем
{(w? ...w%N)*(w?l ...w?NN),vJl ...v]f) =
= (w?...w%N®w?11...w?NN,A(vl\..v]?)) =
= (w°l ... w%n ® w?l . . . w?nn, («1 ® 1 + 1 ® ui)71 . . .
= E (j;)¦¦¦(?)«¦• -^r.оX
x(w?l...w?NN,vJ1-il...vlN~iN) =
- ^ai+/Зі ,71 • • • OaN+?N,-fN (X\\?i\ . ..a N\?xl- X
x ( <*i + ?i \ ( aN + ?N \ =
\ ai J " \ aN J
= JQi+/3i,7i • ¦ • SaN+?N,-rN(ai + ?l)\¦ ¦ . (otN + ?N)\ = = (w^...waNN+?N,vJ\..vlN).
Отсюда следует, что
« ...w*»)* (w?l ...w?NN) = w°1+?l • • • rv%N+?N, (7.6)
откуда видно, что умножение в S(F)^r совпадает с умножением в симметрической алгебре S(V*). Окончание доказательства оставляется читателю. ?548
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Теперь мы вычислим гомологии цепного комплекса (T'(S(W)),d). Определим линейное отображение а из Л* (W) в T' (S(W)) по формуле