Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 157

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 199 >> Следующая


(б) Отображение антисимметризации a: An(V) -» Tn(S(V))j заданное формулой

a(vі А ... A vn) = Y ® ' • • ® М")

<reSn

для всех v\,... ,vn, является отображением комплексов, то есть <5 о а = 0. Кроме того, для всех ш Є An(F) мы имеем р(а(ш)) = п\ш.

(в) Для всех n ^ 0 отображение р индуцирует изоморфизмы в когомологиях

H2n(T+(S(V)),6) 9i A2n(V), H2n+1(T+(S(V)),S) S 0

и

H2n(T-(S(V))J) S О, H2n+1(T-(S(V)),S) S A2n+1(F). 18.7. Вычисления для симметрических коалгебр

545

Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству теоремы 7.1. Идея состоит в рассмотрении комплекса, двойственного к (T'(S(V)), 6), и вычислении его гомологий. Определение внешней алгебры см. в главе 2, упражнение 6.

Для начала нам понадобится понятие градуированного двойственного векторного пространства: если V = фп>0 Vn есть векторное пространство с Z+-градуировкой, то градуированное двойственное линейное пространство V задается как

(7.2)

Это определение можно применить к пространствам T(V), S(V), A(F) и T(S(V)) с их естественными градуировками. Если V = ф„>о Vn и W = ф„>о Wn — градуированные векторные пространства, то мы можем рассмотреть их тензорное произведение, градуированное следующим образом:

(VQW)n= 0 VpQWq. (7.3)

p+q=n

Лемма 18.7.2. Предположим, что пространства V = ф„>о vn и W ~ Фп>о градуированы так, что Vn и Wn конечномерны при всех п. Тогда имеет место канонический изоморфизм

V*r Q W*r = (V Q W)*gr.

Доказательство. Проводится непосредственно, используя тот факт, доказанный в параграфе 2.2, что этот изоморфизм имеет место для конечномерных векторных пространств. ?

Пусть (С, А, є, 1) — некоторая градуированная коалгебра с единицей, то есть векторное градуированное пространство С = ф„>о Cn с диагональю Д и коединицей є, сохраняющими градуировку (поле к снабжается тривиальной градуировкой, сосредоточенной в нуле), и элементом 1, принадлежащим Со- Если пространство Cn для всех п конечномерно, что мы далее и предполагаем, то, очевидно, алгебра А = Cgr градуирована с An = С*, имеет умножение, заданное транспонированным к Д отображением Д*, единицу є* и гомоморфизм алгебр є: A-* к,

vV = Wv*-

п>0 546

Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости

определенный по формуле є(а) = а(1). Отображение є будет называться аугментацией алгебры А.

Из соотношений, определяющих S, видно, что комплекс (Т*(С),6) из параграфа 5 есть комплекс с градуировкой. Применяя лемму 7.2, получаем

Tn(C)*gr = Tn(C*r) = Tn(A). (7.4)

Лемма 18.7.3. Отображение d = <5*, транспонированное к 6, задается формулой

d(a\ <8 ... <8 ап) = є(аі)о2 <8> ¦ • ¦ <8 ап +

n-1

+ 1)1аі <8>... <8> asi-i <8 ajOi+i (? ai+2 (8 ... <8 an +

i=1

+ (—l)"ai (8 ... <8 ап-іє(ап) для всех ai,... ,an Є A.

Цепной комплекс (T*(A),d) называется бар-комплексом аугменти-рованной алгебры А.

Доказательство получается применением обеих частей равенства к х\ <%>... (? хп, где Xi,... ,хп принадлежат С. ?

Лемма 18.7.4. В сделанных выше предположениях когомологии комплекса (Т'(С),8) представляют собой градуированное двойственное пространство к гомологиям комплекса (T'(A),d).

Доказательство. Это утверждение является следствием того факта, что функтор двойственности является точным и что бидвойственность является естественным изоморфизмом для конечномерных линейных пространств. ?

Для доказательства теоремы 7.1, следовательно, достаточно вычислить гомологии цепного комплекса (T*(S(V)*r,d). Сначала мы изучим алгебру S(V)* . 18.7. Вычисления для симметрических коалгебр

547

Лемма 18.7.5. Если V — конечномерное линейное пространство над полем к характеристики нуль, то градуированное двойственное пространство к градуированной коалгебре с единицей 5(F) является градуированной аугментир о ванной алгеброй S1(Wr), где W = V* есть двойственное к V векторное пространство.

Доказательство. Пусть {ui,... , ujv} — некоторый базис пространства V. Тогда {и^1 ... u^A'}Ql+...+QN=n есть базис пространства Sn(V). Зададим базис {Ц*1 ... ш^}аі+...+адг=п в Sn(F)* условием

K1 ... w%N, v?i ... v?NN) = Sau?l ... S0lfl ^a1I... aN\. (7.5)

Умножение *: Sn(F)* ® Sm(V)* -+ Sn+m(F)* в S(F)*r задается по определению отображением, транспонированным к коумножению Д. Мы имеем

{(w? ...w%N)*(w?l ...w?NN),vJl ...v]f) =

= (w?...w%N®w?11...w?NN,A(vl\..v]?)) =

= (w°l ... w%n ® w?l . . . w?nn, («1 ® 1 + 1 ® ui)71 . . .

= E (j;)¦¦¦(?)«¦• -^r.оX

x(w?l...w?NN,vJ1-il...vlN~iN) =

- ^ai+/Зі ,71 • • • OaN+?N,-fN (X\\?i\ . ..a N\?xl- X

x ( <*i + ?i \ ( aN + ?N \ =

\ ai J " \ aN J

= JQi+/3i,7i • ¦ • SaN+?N,-rN(ai + ?l)\¦ ¦ . (otN + ?N)\ = = (w^...waNN+?N,vJ\..vlN).

Отсюда следует, что

« ...w*»)* (w?l ...w?NN) = w°1+?l • • • rv%N+?N, (7.6)

откуда видно, что умножение в S(F)^r совпадает с умножением в симметрической алгебре S(V*). Окончание доказательства оставляется читателю. ? 548

Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости

Теперь мы вычислим гомологии цепного комплекса (T'(S(W)),d). Определим линейное отображение а из Л* (W) в T' (S(W)) по формуле
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed