Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
615
20.3. Алгебраические структуры на хордовых диаграммах
Обобщим понятие хордовой диаграммы. Пусть T — некоторое ориентированное (оснащенное) плетение, определение которого мы дали в параграфе 10.5. Хордовой диаграммой на T называется конечный набор неупорядоченных пар из множества различных точек на T \ ОТ (где дТ есть граница плетения). Как и в предыдущем параграфе, эти пары, называемые хордами и соединяемые пунктирными линиями, рассматриваются с точностью до гомеоморфизма плетения, сохраняющего каждую связную компоненту и ориентацию плетения.
Пусть E(T) — комплексное векторное пространство, базис которого образуют всевозможные хордовые диаграммы на Т. E(T) имеет градуировку
где подпространство Em(T) порождается хордовыми диаграммами, содержащими m хорд. Подпространство Eq (T) одномерно и порождается единственной хордовой диаграммой, не имеющей хорд. Если / : T —>• T1 есть гомеоморфизм плетений, то / переводит любую хордовую диаграмму на T в хордовую диаграмму на Т", индуцируя таким образом изоморфизм E(T) = E(Tt). В частности, так как любое плетение гомеоморфно «незаузленному» плетению, с точностью до изоморфизма пространство E(T) определяется числом замкнутых и незамкнутых компонент плетения Т.
Пусть T и T' — некоторые два плетения такие, что s(T) = Ь(Т') в обозначениях параграфов 10.5 и 12.2. При выполнении этого условия определена композиция ToT'. Помещая хордовую диаграмму T сверху над диаграммой Т", мы получаем диаграмму плетения ToT'. Эта конструкция продолжается до линейного отображения
E(T) = 0 Em(T)
(3.1)
т>0
E(T) <g> E(Tt) Е(ТоТ'),
(3.2)
отправляющего Em(T) ® Eml(Tt) в Em+m'(T о Tt).
Определим теперь векторное пространство A(T) как фактор-прост-ранство пространства E(T) по четырехчленному соотношению (2.5),616
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
которое мы уже использовали в параграфе 2 для определения пространств Am. Здесь снова рис. 2.1 следует понимать так, что изображенные фрагменты вставляются в одну и ту же диаграмму, причем вертикальные линии изображают фрагменты плетения. Градуировка пространства E(T) переносится на A(T), и мы имеем
(3.3)
где т обозначает число хорд в диаграмме.
Аналогично определим A(T) = фт>0 Am(T) как фактор-пространство пространства A(T) по хордовым диаграммам, имеющим изолированную хорду41 . Если T есть окружность, то имеют место изоморфизмы
Am(T)^Am и Am(T)^Am. (3.4)
Так как четырехчленное соотношение является локальным, операция композиции (3.2) индуцирует линейные отображения
A(T) (8> A(Tt) ->• А(Т о T') и A(T) ®А(Т') А(ТоТ'), (3.5)
определенные при s(T) = Ь(Т'). Отображения (3.5) сохраняют градуировку.
Зададим теперь структуру градуированной алгебры на векторном пространстве A = (J)mj,0 Am. Рассмотрим косу In (определенную в параграфе 10.6), состоящую из п > 0 вертикальных отрезков, ориентированных сверху вниз. В категории плетений коса In является тождественным морфизмом последовательности из п знаков +. Так как 1 n ° In = 1 п, отображения (3.2) и (3.5) задают структуру алгебры на пространствах E(In), A(In) и A(In), единицами которых являются хордовые диаграммы, не содержащие хорд.
41 Понятие изолированной хорды здесь нуждается в уточнении. Хорда называется изолированной, если если ее концы лежат на одной и той же нити и отрезок нити между концами хорды обладает следующим свойством: концы каждой другой хорды либо оба лежат внутри отрезка, либо оба вне. Можно пользоваться и таким определением: хорда является изолированной, если она соединяет две соседние точки (то есть точки на одной нити, между которыми нет концов других хорд). Дело в том, что подпространства, порожденные хордовыми диаграммами, имеющими изолированную хорду в смысле данных двух определений, совпадают после факторизации по четырехчленному соотношению. — Прим. перев.
A(T) = 0 Am(T),
ш>020.3. Алгебраические структуры на хордовых диаграммах
617
С помощью этих структур алгебр мы найдем семейство элементов из A(In), удовлетворяющих инфинитезимальным соотношениям группы кос (19.2.1), (19.2.2). Для целых 1 і ф j ^ п пусть обозначает единственную хордовую диаграмму на In с ровно одной хордой, соединяющей точки на і-й и j-й нитях. По определению iJl = tlK Для умножения в .E(In) имеет также место равенство
[tij,tkl] = tijtkl -tkltij = 0, (3.6)
если все i,j,k,l попарно различны. Из определения умножения в .E(In) и в A(In) и четырехчленного соотношения (2.5) следует, что в фактор-алгебрах A(In) и A(In) выполнено соотношение
[tij, tik + tjk] = tijtik - tiktij + tijtjk - tjktij = 0 (3.7)
для любых попарно различных к. Следовательно, классы эквивалентности элементов {t1J)i^Kj<:n в A(In) и A(In) удовлетворяют инфинитезимальным соотношениям группы кос.
Алгебры A(In) и A(In) обладают также структурой биалгебры. Коумножение А задается формулой
A (D) = Y D'®D", (3.8)
QCD'CD
где D' пробегает все поддиаграммы42 диаграммы D, включая диаграмму, не содержащую хорд, a D" есть поддиаграмма, дополнительная к D' в D. Коединица обращается в нуль на всех диаграммах, содержащих хотя бы одну хорду, и равна 1 на диаграмме 0, не содержащей хорд. Читатель может проверить, что коумножение и коединица корректно определяются на A(In) и A(In) и удовлетворяют всем необходимым аксиомам. Заметим, что коумножение А кокоммутативно. В действительности эти биалгебры являются алгебрами Хопфа, как и любая градуированная биалгебра с компонентой С в градуировке 0. Антипод S определяется при помощи индукции по числу хорд из соотношений 5(0) = 0 и