Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, любую двойную точку можно «регуляризовать», заменяя локально фрагмент X, образованный двойной точкой и двумя пересекающимися в ней дугами, ориентированными сверху вниз на фрагменты Х+ и введенные в параграфе 10.4. Эта процедура позволяет нам продолжить произвольный изотопический инвариант зацеплений на сингулярные зацепления. Действительно, пусть P — некоторый инвариант со значениями в некотором векторном пространстве37 V. Тогда правило
P(L) = P(L+) - P(L-) (1.1)
определяет инвариант P на множестве изотопических классов сингулярных зацеплений с одной двойной точкой. Здесь L есть некоторая диаграмма зацепления с одной двойной точкой, а обыкновенные диаграммы L+ и L- получаются из L заменой фрагмента X в окрестности двойной точки на Х+ и X- соответственно. Индукцией по числу двойных точек мы можем продолжить P до изотопического инварианта, определенного для всех сингулярных зацеплений 38 .
Определение 20.1.1. Пусть т — неотрицательное целое число. Говорят, что изотопический инвариант имеет порядок ^ т., если его продолжение на сингулярные зацепление обращается в нуль на всех сингулярных зацеплениях, имеющих более m двойных точек.
Имеется аналогичное определение для оснащенных зацеплений. Заметим, что инвариант P имеет порядок 0 тогда и только тогда, когда для всех диаграмм имеет место равенство P(L+) = P(L-), что означает, что инвариант P не различает проходы и переходы. Следовательно,
37 Вообще говоря, в произвольной абелевой группе. — Прим. перев.
38 Корректность такого определения нуждается в проверке, которая, впрочем, не вызывает затруднений. См. [BN92], — Прим. перев. 20.1. Инварианты узлов конечного типа
607
он зависит только от числа связных компонент зацепления. В частности, P постоянен на пространстве обычных узлов.
Первый вопрос, который мы хотим поставить, следующий: существуют ли нетривиальные примеры инвариантов конечного более высокого порядка? Перед тем как на него ответить, скажем, что изотопический инвариант (оснащенных) зацеплений P(L) = Ylm>o Pm(L) hm со значениями в F[[/i]], где V — некоторое комплексное векторное пространство, есть инвариант конечного типа, если У-значный инвариант Pm имеет порядок ^ т для всех т ^ 0. Сейчас мы укажем важный источник инвариантов конечного типа.
Предложение 20.1.2. Пусть P — изотопический инвариант со значениями в V[[/i]], где V — некоторое комплексное векторное пространство. Предположим, что для любого перекрестка любой диаграммы зацепления L мы имеем
P(L+) - P(LJ) = h(h(h)P(Lx) + ... + fk(h)P(Lk))
где Li,... ,Lk — некоторые зацепления, отличающиеся от L только в окрестности выбранного перекрестка, a fi,... , fk — некоторые ряды из С[[/г]]. Тогда P — инвариант конечного типа.
Доказательство. Для данного инварианта P зададим F-значные инварианты Pm равенством P(L) = X^m^o Pm(L) hm. Мы должны показать, что каждый из Pm является инвариантом порядка ^ т.
Пусть L — диаграмма сингулярного зацепления с одной двойной точкой. Согласно соотношению (1.1) и по предположению, сделанному на Р, ряд P(L) делится на h. Следовательно, можно определить новый инвариант P' зацеплений L с одной двойной точкой, полагая P(L) = hP'(L). Инвариант P' удовлетворяет тому же условию, которое наложено на P в условии предложения. Следовательно, продолжение инварианта P' на зацепления с двумя двойными точками будет делиться на h, а, значит, P(L) делится на h2, если L — сингулярное зацепление с двумя двойными точками.
Простая индукция по т показывает, что P(L) делится на hm+l, если L есть сингулярное зацепление, имеющее более т двойных точек.
Следовательно, коэффициент Pm(L) для такого зацепления равен нулю.
? 608
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Предложение 1.2 можно применить к многочлену Джонса-Конвея, а значит, и к многочленам Александера и Джонса, которые являются его частными случаями. Напомним, что, как мы видели в параграфе 10.4, многочлен Джонса-Конвея удовлетворяет скейн-соотношению
xP(L+) - X-1PiL_) = yP(Lo) (1.2)
для любой тройки Конвея (L^., L-, L0). Заменим ж и у на формальные ряды x(h) и y(h) от h такие, что
x{h) - 1 = y(h) = 0 (mod h)
и x(h) — 1 делится на у(h). Простое вычисление дает:
P(L+) - P(L_) = h (x{h) P(L0) + (1 + *(Л))Р(?+)) ,
что позволяет применить предложение 1.2. В частности, используя разложение Тейлора, мы видим, что т-я производная многочлена Джонса (соответственно многочлена Конвея) в точке 1 (соответственно в точке 0) является инвариантом порядка ^ т. Инварианты Фт,д из предложения 10.4.7 также оказываются инвариантами конечного порядка.
О некоторых открытых вопросах теории инвариантов конечного порядка см. [BN92, параграф 7] и [Bir93, параграф 8].
20.2. Хордовые диаграммы и теорема Концевича
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением только узлов. Обозначим через V^m) линейное пространство инвариантов узлов порядка ^ т со значениями в С. Мы имеем следующую цепочку вложенных линейных пространств:
у(0) с у(1) с ... С V^m"1) С V<m> С .,.
