Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
P(K) = Р(К+) - P(KJ) = 0.
? 612
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Рассуждение в части (б) доказательства, приведенного выше, не работает в случае инвариантов оснащенных узлов, так как К+ и K^ не изотопны как оснащенные узлы.
Соотношения в предложении 2.2 оказываются универсальными соотношениями, которым удовлетворяют инварианты конечного порядка. Мы могли бы поинтересоваться, есть ли другие такие соотношения. Ответ на этот вопрос отрицателен. Для того чтобы придать точный смысл этому утверждению, определим векторное пространство Am как фактор-пространство Em по всем соотношениям вида
D1 - D2 + D3 - Di = 0, (2.5)
где Di, D2, D3 и D4 — хордовые диаграммы, получающиеся из D, как определено выше, a D пробегает все хордовые диаграммы с ш — 2 хордами. Если т = 0,1, то мы полагаем Am — Em. Кроме того, определим Am как фактор-пространство Am по всем хордовым диаграммам, содержащим изолированные хорды.
Как следствие этого определения и предложения 2.2 мы видим, что Ym задает вложение пространства V^/V^"-1^ в Нот(Ато,С), а пространства VM/у(™-!) — в Нот(Am, С). Следующая глубокая теорема, принадлежащая Концевичу [КопЭЗ]39, утверждает, что пространства Am и Am описывают все универсальные соотношения на инварианты узлов конечного порядка.
Теорема 20.2.3. Отображения Ym
v(m)/v(m-l) ^ Hom(Amj q и V(m)/V(m-1) ^ HOm(Am, С)
являются изоморфизмами.
Объясним суть доказательства Концевича теоремы 2.3. Положим А=0Ато и А = ф Am. (2.6)
т^О т^О
39 Концевичу принадлежит красивое доказательство этой теоремы, которое и изложено ниже. Однако, согласно Бар-Натану, впервые она была доказана совместными усилиями Бар-Натана, Аксельрода, Зингера и Концевича (см. [BN92]). — Прим. перев. 20.2. Хордовые диаграммы и теорема Концевича
613
Нам также понадобятся прямые произведения
A=JJAm и A = JJ Am. (2.7)
т^О т^О
Мы будем обращаться с элементами пространств А и А как с формальными рядами вида о ^m hm, где Dm принадлежит Am или Am. Зафиксировав эти обозначения, Концевич [КопЭЗ] сопоставляет каждому узлу К элемент
Z(K) = Zm(K) hm Є А (2.8)
m^O
со следующими свойствами:
(i) функция К M- Z(K) является инвариантом оснащенных узлов конечного типа, то есть Zm имеет порядок ^ т при всех т ^ 0;
(ii) для каждой хордовой диаграммы Dcm хордами и каждого вложения Kq диаграммы D мы имеем
Z(K0) = Dhm (mod/iTO+1). (2.9)
Инвариант Z(K) и его образ Z(K) в А называются универсальными инвариантами Концевича для (оснащенных) узлов. Сейчас мы используем Z(K) для доказательства теоремы 2.3.
Доказательство теоремы 2.3. Мы предполагаем существование такого инварианта40 Z. Пусть w — некоторая линейная функция на Am. Согласно свойству (і), указанному выше, Pw(K) = w(Zm(K)) есть элемент Vfr ^. Определим отображение Xm из Нот(Лто,С) в как композицию отображения w ^ Pw с проекцией на V^/Vf™ Из (2.9) мы имеем
(YmoXm)(w)(D) = (Pw, D) = = Pw(Kd) = = w(Zm(KD)) = w(D)
40 Конструкция этого инварианта будет дана в параграфе 7. — Прим. ред. 614
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
для любой линейной функции W на Am и любой хордовой диаграммы Dcm хордами. Отсюда видно, что Ym о Xm = id. Следовательно, отображение Ym сюръективно. Но мы уже знаем, что оно инъектив-но. Значит, оба отображения Ym и Xm являются изоморфизмами. Для инвариантов (неоснащенных) узлов доказательство аналогично. ?
Из доказательства теоремы 2.3 мы видим, что Xm о Ym = id, что означает существование и единственность для любого инварианта P порядка ^ m линейной функции вида w = Ym(P) на Am такой, что P-W о Zm есть инвариант порядка m — 1. По индукции получаем, что
P = wm о Zm + Wm-I о Zm_i + ...+W0O Z0
для однозначно определяемого семейства линейных отображений (wi: Ai —>¦ С)о<сг^т- Следовательно, для любого инварианта оснащенных узлов P = "52т>о Pmhm конечного типа со значениями в алгебре формальных степенных рядов C[[/i]] существует, и притом единственное, линейное отображение ю из і в C[[/i]] такое, что
P(K) = w(Z(K))
для любого оснащенного узла К. Биекция между изотопическими инвариантами оснащенных узлов конечного типа и линейными функциями на А, устанавливаемая с помощью Z(K), оправдывает название «универсальный» для инварианта Z(K). Для инвариантов узлов имеет место аналогичная формулировка, в которой А заменено на A, a Z(K) — на Z(K). В частности, любой квантовогрупповой инвариант можно получить этим способом (мы подробно изложим это в параграфе 8).
Первоначальное определение Концевича для универсального инварианта узлов Z(K) использовало сложные многомерные интегралы, зависящие от реализации узла гладкой кривой в 3-мерном пространстве. В параграфе 7 мы дадим комбинаторную конструкцию для Z(K), использующую плоские диаграммы узлов и теорию категорий в духе подхода, примененного в главах 10, 12, пункте 14.5.1 и параграфе 17.3. Этой комбинаторной конструкцией мы обязаны Картье [Саг93], JIe, My-раками [LM93c] и Пиунихину [Piu93]. 20.3. Алгебраические структуры на хордовых диаграммах
