Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
17.2. Алгебры Дринфельда-Джимбо
Перед тем как дать описание квантовой обертывающей алгебры Ufl(Q)1 которую Дринфельд и Джимбо сопоставляют каждой комплексной полупростой алгебре Ли 0, мы введем понятие топологической алгебры, заданной образующими и соотношениями. Напомним обозначения К = Cp]] и Kn = C[h]/(hn) из параграфа 16.1.
Для данного множества X определим топологически свободную алгебру, порожденную множеством X как алгебру формальных степенных рядов с коэффициентами в свободной комплексной алгебре, порожденной элементами из X:
K(X) = (C(Z))P]]. 508
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
Мы снабжаем K(X) /i-адической топологией. Она имеет следующее свойство универсальности, которое является топологическим аналогом предложения 1.2.1.
Предложение 17.2.1. Пусть f: X —»• А — отображение из множества X в отделимую полную K-алгебру А. Тогда существует, и притом единственное, непрерывное K-линейное отображение f : K(X) —»• А такое, что f(x) = f(x) для всех х Є X.
Доказательство. Очевидно, что / единственным образом продолжается до Kri-линейного гомоморфизма алгебр
Возьмем теперь обратный предел отображений /„. Единственность / следует из того факта, что K-подалгебра, порожденная множеством
Определение 17.2.2. Пусть X — некоторое множество, a R — подмножество топологически свободной алгебры K(X), порожденной X. Говорят, что K-алгебра А есть К-алгебра, топологически порожденная множеством образующих X и множеством соотношений R, если А изоморфна фактор-алгебре K(X) по замыканию (в /г-адической топологии) двустороннего идеала, порожденного R.
Из предложения 2.1 и определения 2.2 немедленно вытекает, что пространство гомоморфизмов K-алгебр из K(X) в отделимую полную K-алгебру А находится во взаимно однозначном соответствии с множеством отображений / : X —> А таких, что / обращается в нуль на R.
Напомним также определение следующих символов, уже рассматривавшихся в параграфе 6.1. Мы добавляем индекс q, чтобы подчеркнуть зависимость от параметра q. Для любого обратимого элемента q и любого целого п положим
Далее, положим [0]9! = 1, и, если г > 0,
fn: Kn(X) ^ AfhnA.
X, всюду плотна в K(X).
?
И?! = [1Ы2]2...[Г]9 И
П 1 _ [П]д[п - l]g
. [п - Г + 1],
9
Г
д 17.2. Алгебры Дринфельда-Джимбо
509
Вернемся теперь к определению алгебры Дринфельда-Джимбо Ufl (д). Пусть 0 — комплексная полупростая алгебра Ли, А = — ее
матрица Картана и D = diag(di,... , dn) — диагональная матрица длин корней.
Определение 17.2.3. Алгебра Uh(g) определяется как if-алгебра, топологически порожденная множеством образующих {-Х^Уь-^іІі^г^п и соотношениями
[HuHj]= 0, [Hi, Xj] = UijXj, и, если г ф j,
[XuYj] = Si
sh(hdiHi/2)
13 sh(hdi/2) [Hi,Yj] = —uijYj
1— Qv
и
E (-D*
Ai=O
1-Oij
E (-D'
V
1-а. к
1-а.
XkXjX1i aij к = О
Qi
Jfc=O
V
YtkYjY1 а'3 к = О,
(2.1) (2.2)
(2.3)
(2.4)
Qi
где qi = ehdi!2, и где sh есть формальный ряд
sh(x) =
Ex
W
2п+1
п>0
(2п + 1)!
Заметим, что, хотя ряд sh(hdi/2) необратим, он является произведением h на'некоторый однозначно определенный обратимый элемент, поэтому отношение sh(hdiHi/2)/ sh{hdi/2) является корректно определенным элементом алгебры K({Xi, Yi, Ні}і^і^п). Мы имеем
Sh(IidiHift)
= Hi (mod/г).
sh(Mi/2)
Заметим также, что соотношения (2.2) означают, что
^hHi х, _ e\hai3 XjeXhHi и eXhHiYj = e-M<4jYjeXhHi (2.5)
для всех i,j и любого комплексного Л. 510
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
Теперь мы сформулируем основное утверждение этого параграфа.
Теорема 17.2.4. Топологическая алгебра Ufl(Q) является квантовой обертывающей
{Uh(s), Hh, Vh, А/г, eh, Rh)
для алгебры JIu 0 с Ф^ = 1 ® 1 ® 1, коумножением Afl и коединицей Efl, определяемыми формулами:
ДЛ(Яі)=Яі®1 + 1®Яі, (2.6)
Ah(Xi) =XiQ e*W4 + e~hdiH'/4 ® Xu (2.7)
Ah(Yi) =YiQ ehdiHi/i + е-м'я'/4 ® Yi (2.8)
^h(Hi) = ^h(Xi) = Zh(Yi) = 0. (2.9)
За доказательством мы отсылаем к работе [Dri87]. Сделаем несколько замечаний. Во-первых, если в соотношениях (2.1)-(2.4) и (2.6)-(2.9) положить h = 0, то мы получим обертывающую алгебру для 0 в представлении Серра. Другими словами, имеет место изоморфизм алгебр
Uh(e)/hUh(g) - U(g). (2.10)
Тот факт, что Uh(q) есть топологически свободный K-модуль не следует непосредственно из определения. Его можно доказать с помощью построения базиса типа базиса Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Нужно также проверить, что формулы (2.6)-(2.9) задают гомоморфизмы алгебр Ah и ?h. Для Ah это следует из (2.5) и g-биномиальной формулы из предложения 4.2.2.
Топологическая биалгебра Uh(Q) имеет антипод Sh, который задается формулой
Sh(Hi) = -Hi, Sh(Xi) = -ChdiZ2Xi, Sh(Yi) = -C-hd^2Yi. (2.11)
Заметим, что коумножение в Uh(q) не кокоммутативно, а антипод не инволютивен. Однако для всех а Є Uh(q) имеет место равенство
Sfca) = ehpae~~hp, (2.12)
где р = YTi=I Hi^i, а скаляры pi определяются по обратной матрице Картана А*1 равенством pi = Y]=i(A~l)jidj. 17.2. Алгебры Дринфельда-Джимбо
