Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
действия элемента в~1и = ehp на Уд^_Таккак V\ имеет такое же весовое разложение, кале и g-модуль V\ = Vx/hVx, и так как ehp действуетjia векторе веса р. умножением на мы можем вычислить сйт9(Уд)
следующим образом. Используя формулу Вейля для характера, вычислим характер
Ch(Vx) = Yd^ (3-4)
?
простого модуля Va (как определено, например, в [ВоибО, гл. 8, §9]), где р пробегает все веса модуля Vx. Тогда
dhngfa) =Y^m- (3-5)
?
Когда h = 0, мы получаем размерность модуля Va- Следовательно, квантовую размерность модуля Va можно рассматривать как (/-аналог размерности модуля Va-
Мы завершаем этот параграф формулировкой специального свойства универсальной R-матрицы Rh алгебры Uh(Q)• В следующей главе (см. следствие 18.4.2) мы докажем существование и единственность изоморфизма а топологических алгебр из центра алгебры Uh(q) в алгебру Z(g)[[/i]] формальных степенных рядов с коэффициентами в центре Z(q) алгебры U(q) такого, что a = idZ(g) (mod/i). Элемент Казимира С в Z(q) С Z(g)[[/i]], заданный формулой (1.5), имеет в качестве прообраза однозначно определенный центральный элемент, квантовый элемент Казимира,
Ch = a~l (С) (3.6)
алгебры Uh(q), удовлетворяющий соотношению
Ch = C (mod/г). (3.7)
Предложение 5.1 в [Dri89a] утверждает, что
в = е~нс^2. (3.8)
Это доказывается по аналогии с предложением 3.1 выше. Чтобы вычислить действие элемента Ch на Va, достаточно знать действие классического оператора Казимира С на , которое известно. 17.4. Случай sl(2)
515
Собирая вместе (3.8) и предложение 3.1, мы получаем следующее свойство универсальной R-матрицы алгебры Uh(Q).
Предложение 17.3.2. Универсальная R-матрица Rfl алгебры Ufl(Q) удовлетворяет соотношению
(Rh)2lRh = Ah(ehC^)(e-hC^2 <g> e-hC"/2).
Как следствие, мы немедленно получаем, что канонический 2-тензор алгебры Uh(Q) (определенный в параграфе 16.5) является симметрическим инвариантным 2-тензором t из (1.6).
и
17.4. Случай s[(2)
Когда алгебра Ли Q совпадает с 3-мерной алгеброй Ли sl(2), из определения 2.3 вытекает, что Uh = Uh(sl(2)) есть К-алгебра, топологически порожденная тремя образующими X, Y и H и соотношениями
[Н,Х]=2Х, [H,Y] = -2Y (4.1)
BhjhH/2)
L ' J~ sh(h/2) - eA/2_e-A/2 •
Следующее утверждение устанавливает связь алгебры Хопфа Uq = = Uq(s 1(2)) из глав 6 и 7 с Uh. Мы предполагаем, что основное поле к, для которого определяется Ug, есть поле частных алгебры К формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами.
Предложение 17.4.1. Существует гомоморфизм алгебр Хопфа і: Uq —> Uh такой, что
г(Е) = XehH!\ i(F) = e~hH/4Y, І(К) = ehH!2, i(K~l) = e~hH/2, i(q) = eh>2.
Доказательство этого утверждения оставляется в качестве упражнения (кроме всего прочего, используйте соотношение (2.5)). В действительности, отображение і инъективно, что дает возможность 516 Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
отождествить алгебру Uq с подалгеброй в. Ufl, порожденной элемен-
тами q = ен>2, E = XehH>\ F = e~hH^Y, К = ehH'2 и K~l = e~hH!2.
Опишем теперь универсальную і?-матрицу Rh топологической сплетенной биалгебры Uh-
Теорема 17.4.2. Элемент
алгебры Uh <8> Uh является универсальной R-матрицей для Uh{s 1(2)).
h(H®H)
Заметим, что из-за множителя е і элемент Rh не определен для подалгебры Uq, что мешает Uq быть сплетенной алгеброй Хопфа в чисто алгебраическом смысле параграфа 8.2.
Доказательство. Второе равенство получается просто: оно следует из определения образующих EhF. Мы оставляем его доказательство читателю, и сосредоточимся на первом. Имеется несколько способов его доказательства. Первый состоит в прямой проверке соотношений (16.4.15)-(16.4.17). Другой метод заключается в обобщении теории квантового дубля Дринфельда (развитой в главе 9) на топологический случай, и аналогичен доказательству теоремы 9.7.1. Этот второй метод был использован Pocco в [Ros89]. Мы дадим набросок третьего спо'соба доказательства, использующего топологические скрещенные бимодули, которые определены в конце параграфа 16.4.
Доказательство состоит в следующем. Как и в параграфе 9.6, мы начнем с определения некоторой подбиалгебры Bh в Uh- Она является замыканием K-подмодуля в Uh, порожденного линейно независимым семейством {НтЕп}т^о, где E = XehnZ4, как и выше. Из (4.1) и (4.3) с очевидностью следует, что подпространство Bh замкнуто относительно умножения и коумножения в Uh и что умножение в Bh задается соотношением
[Н,Е] = 2Е,
(4.4) 17.4. Случай sl(2)
517
а коумножение — соотношениями
A(H) = IQH + HQl и A(E) = IQE+ EQK, (4.5)
где К = ehH!2. Заметим также, что
KE = q2EK (4.6)
для q = eh!2. Теперь мы охарактеризуем топологические скрещенные ?/j-бимодули.
Предложение 17.4.3. Пусть M — топологический скрещенный Bh-бимодулъ с кодействием Am- Тогда для любого элемента х Є M имеет место равенство
_n(n—1)/2
Ам(х)= E ^lTTT (A"A2)(z) ® нтЕП1
где Ai и A2 — h-адически локально нильпотентные K-линейные эндоморфизмы модуля M такие, что
