Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(MQN)QP S M Q(NQP), (3.1)
MQN = NQ М. (3.2)16.3. Топологическое тензорное произведение
487
Мы также имеем
KqM = M = MQK, (3.3)
то есть К служит в качестве единицы для топологического тензорного умножения.
Топологическое тензорное умножение функториально, как видно из определения: если /: M —> M' и g : N —N' — К-линейные отображения, то существует К-линейное отображение
} Qg \ MQN -ї M' QN',
согласованное с формальными свойствами алгебраического тензорного умножения.
Предложение 16.3.2. Если MuN — топологически свободные модули, то модуль MQN также топологически свободен. А точнее, мы имеем
V[[h]]QW[[h}} = {VQW)[[h}}.
Доказательство. Для любого UT-модуля M естественные отображения
M Qk Kn-* M Qk KfhnK MfhnM
являются изоморфизмами, первый из которых индуцируется отображением (1.4), а второй — отображением т Q / t-> fm (обратный изоморфизм индуцируется отображением т t-> т Q 1). Применяя это к M Qk N, где M = F[[/i]] и N = W[[h]}, получаем
(М Qk N)/hn(M Qk N) = (М Qk N) Qk Kn ^
S (М Qk Kn) QKn (N Qk Kn) s ^ MfhnM qknNfhnN S = (VQKn) QKn (WQKn) ^ 3 (VQW) Q Kn S = (V Q W)[[h}]fhn(V Q Ж)[[/і]].
Переходя к обратным пределам, получаем требуемое утверждение. ?488
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
16.4. Топологические алгебры
Мы обобщим определения алгебр, квазибиалгебр и т. д. на случай С[[/г]]-модулей. Это делается заменой алгебраического тензорного умножения, определенного в параграфе 2.1, на топологическое тензорное умножение из параграфа 3.
Топологической алгеброй называется тройка ту), где А — модуль над кольцом К = С[[/і]], ц : А® А -» А и rj: К —> А — К-линейные отображения такие, что
ц о (fj, <§> ісід) = ц о (ісід § /jl) (4.1)
и
ц О (г? § ісід) = ісід = ц О (ісід <8>Г?). (4.2)
Как и в алгебраическом случае, мы используем соглашение
аа' = ц(а § а') (4.3)
для произведения элементов а, а' топологической алгебры (А,/л,г)). Мы также обозначаем через 1 образ единицы кольца К при отображении г/.
Пусть (A,/jl, t]) — топологическая алгебра и f(h) = Xm>o — формальный степенной ряд с комплексными коэффициентами. Для элемента а Є А формула
f(ha) = Y,Cnanhn (4.4)
п^О
корректно определяет некоторый элемент из обратного предела А = = Iim AfhnA. Следовательно, если модуль А отделимый и полный,
п
то эта формула задает некоторый элемент, также обозначаемый через f(ha), в A = A. Эту процедуру можно применить к классической экспоненциальной функции eh = ^Cn>0 ^j1 что дает элементы вида
Jia _
п>0
в любой отделимой полной топологической алгебре А. Если а' — другой элемент алгебры А, коммутирующий с а, то
ehaeha' .... еЛ(а+а') (4 6)16.4. Топологические алгебры
489
Вследствие этого мы видим, что eha является обратимым элементом в А, обратный к которому есть e~ha.
Гомоморфизмом /: (A,p,rj) —> (А',р',т]') топологических алгебр называется К-линейное отображение /: А -» А' такое, что
fop = p!o(f®f) и /о Г) = T]'. (4.7)
Используя соглашение (4.3), мы можем переписать (4.7) следующим образом:
/(O1O2) = Z(Oi)Z(O2) и Z(I) = I, (4.8)
где O1 и O2 — элементы алгебры А.
ПРИМЕР 1. Пусть A = K = С[[Л]]. Мы будем отождествлять К®К с К. Мы видим тогда, что (К, id#) является топологической алгеброй. Кроме того, отображение г/: К -» А для любой топологической алгебры (А,р,т/) является гомоморфизмом.
ПРИМЕР 2. Пусть (А, р,, ту) и (А!, р,', T]') — топологические алгебры. Тогда топологической алгеброй будет также
{А ® А', [р, ® р!) о (idA ® та',а ® idA'), т? ® rj'),
где г а;, а '¦ -А' ® А —>¦ А ® А' — переставляющее отображение. Другими словами, умножение в пополненном тензорном произведении алгебр А® А' задается равенством
(O1 ® O1Xa2 ® a2) = O1O2 ® O1O2, (4.9)
а единицей является 1 <g> 1.
Топологической квазибиалгеброй называется шестерка (А,р, г), А, є, Ф), где (A,pL,rj) — топологическая алгебра, Д: А -» А ® А и є: А —> К — гомоморфизмы топологических алгебр, а Ф — обратимый элемент пополненного тензорного произведения А® А® А такие, что
(idA® Д)(Д(о)) = Ф((Д®іаА)(Д(о)))Ф"1 (4.10)490
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
для всех a E А,
(є ® ісід)Д = ісід = (icU <g> є) A, (4.11)
Cidj4 <g> id A ® Д)(Ф) (Д ® id A ® І0л)(Ф) = $234 (id A ® Д ® І0л)(Ф) Фі23
(4.12)
и _ _
(І0л®є®і0і4)(ф) = 1®1. (4.13)
Если Ф = 1 ® 1 ® 1, то А называется топологической биалгеброй.
Морфизм /: (А,р,г), Д,є,Ф) -> (A', р,',rj', А',є', Ф') топологических квазибиалгебр — это гомоморфизм / соответствующих топологических алгебр такой, что
С/®/)Д = Д7, и С/®/®/)( Ф) = Ф'. (4.14)
Топологическая квазибиалгебра (А, /л, г/, Д, є, Ф) называется топологической сплетенной квазибиалгеброй, если в пополненном тензорном произведении А® А имеется обратимый элемент R такой, что
Дор(а) = ЯД(а)Я-1, (4.15)
(idA ® A)(R) = (Ф2糥1ВізФ2ізВі2(Фі2зГ1 (4.16)
и
(Д § ida)(R) = Ф312Д13(ФШ)_1Д23Ф123- (4.17)
Как и раньше, Я называется универсальной Я-матрицей квазибиалгебры А. Она является частью данных, задающих топологическую сплетенную квазибиалгебру. Гомоморфизм топологических сплетенных квазибиалгебр есть некоторый гомоморфизм соответствующих топологических квазибиалгебр, отображающий универсальную Я-матрицу первой в универсальную Я-матрицу второй.