Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 140

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 199 >> Следующая


(MQN)QP S M Q(NQP), (3.1)

MQN = NQ М. (3.2) 16.3. Топологическое тензорное произведение

487

Мы также имеем

KqM = M = MQK, (3.3)

то есть К служит в качестве единицы для топологического тензорного умножения.

Топологическое тензорное умножение функториально, как видно из определения: если /: M —> M' и g : N —N' — К-линейные отображения, то существует К-линейное отображение

} Qg \ MQN -ї M' QN',

согласованное с формальными свойствами алгебраического тензорного умножения.

Предложение 16.3.2. Если MuN — топологически свободные модули, то модуль MQN также топологически свободен. А точнее, мы имеем

V[[h]]QW[[h}} = {VQW)[[h}}.

Доказательство. Для любого UT-модуля M естественные отображения

M Qk Kn-* M Qk KfhnK MfhnM

являются изоморфизмами, первый из которых индуцируется отображением (1.4), а второй — отображением т Q / t-> fm (обратный изоморфизм индуцируется отображением т t-> т Q 1). Применяя это к M Qk N, где M = F[[/i]] и N = W[[h]}, получаем

(М Qk N)/hn(M Qk N) = (М Qk N) Qk Kn ^

S (М Qk Kn) QKn (N Qk Kn) s ^ MfhnM qknNfhnN S = (VQKn) QKn (WQKn) ^ 3 (VQW) Q Kn S = (V Q W)[[h}]fhn(V Q Ж)[[/і]].

Переходя к обратным пределам, получаем требуемое утверждение. ? 488

Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах

16.4. Топологические алгебры

Мы обобщим определения алгебр, квазибиалгебр и т. д. на случай С[[/г]]-модулей. Это делается заменой алгебраического тензорного умножения, определенного в параграфе 2.1, на топологическое тензорное умножение из параграфа 3.

Топологической алгеброй называется тройка ту), где А — модуль над кольцом К = С[[/і]], ц : А® А -» А и rj: К —> А — К-линейные отображения такие, что

ц о (fj, <§> ісід) = ц о (ісід § /jl) (4.1)

и

ц О (г? § ісід) = ісід = ц О (ісід <8>Г?). (4.2)

Как и в алгебраическом случае, мы используем соглашение

аа' = ц(а § а') (4.3)

для произведения элементов а, а' топологической алгебры (А,/л,г)). Мы также обозначаем через 1 образ единицы кольца К при отображении г/.

Пусть (A,/jl, t]) — топологическая алгебра и f(h) = Xm>o — формальный степенной ряд с комплексными коэффициентами. Для элемента а Є А формула

f(ha) = Y,Cnanhn (4.4)

п^О

корректно определяет некоторый элемент из обратного предела А = = Iim AfhnA. Следовательно, если модуль А отделимый и полный,

п

то эта формула задает некоторый элемент, также обозначаемый через f(ha), в A = A. Эту процедуру можно применить к классической экспоненциальной функции eh = ^Cn>0 ^j1 что дает элементы вида



Jia _

п>0

в любой отделимой полной топологической алгебре А. Если а' — другой элемент алгебры А, коммутирующий с а, то

ehaeha' .... еЛ(а+а') (4 6) 16.4. Топологические алгебры

489

Вследствие этого мы видим, что eha является обратимым элементом в А, обратный к которому есть e~ha.

Гомоморфизмом /: (A,p,rj) —> (А',р',т]') топологических алгебр называется К-линейное отображение /: А -» А' такое, что

fop = p!o(f®f) и /о Г) = T]'. (4.7)

Используя соглашение (4.3), мы можем переписать (4.7) следующим образом:

/(O1O2) = Z(Oi)Z(O2) и Z(I) = I, (4.8)

где O1 и O2 — элементы алгебры А.

ПРИМЕР 1. Пусть A = K = С[[Л]]. Мы будем отождествлять К®К с К. Мы видим тогда, что (К, id#) является топологической алгеброй. Кроме того, отображение г/: К -» А для любой топологической алгебры (А,р,т/) является гомоморфизмом.

ПРИМЕР 2. Пусть (А, р,, ту) и (А!, р,', T]') — топологические алгебры. Тогда топологической алгеброй будет также

{А ® А', [р, ® р!) о (idA ® та',а ® idA'), т? ® rj'),

где г а;, а '¦ -А' ® А —>¦ А ® А' — переставляющее отображение. Другими словами, умножение в пополненном тензорном произведении алгебр А® А' задается равенством

(O1 ® O1Xa2 ® a2) = O1O2 ® O1O2, (4.9)

а единицей является 1 <g> 1.

Топологической квазибиалгеброй называется шестерка (А,р, г), А, є, Ф), где (A,pL,rj) — топологическая алгебра, Д: А -» А ® А и є: А —> К — гомоморфизмы топологических алгебр, а Ф — обратимый элемент пополненного тензорного произведения А® А® А такие, что

(idA® Д)(Д(о)) = Ф((Д®іаА)(Д(о)))Ф"1 (4.10) 490

Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах

для всех a E А,

(є ® ісід)Д = ісід = (icU <g> є) A, (4.11)

Cidj4 <g> id A ® Д)(Ф) (Д ® id A ® І0л)(Ф) = $234 (id A ® Д ® І0л)(Ф) Фі23

(4.12)

и _ _

(І0л®є®і0і4)(ф) = 1®1. (4.13)

Если Ф = 1 ® 1 ® 1, то А называется топологической биалгеброй.

Морфизм /: (А,р,г), Д,є,Ф) -> (A', р,',rj', А',є', Ф') топологических квазибиалгебр — это гомоморфизм / соответствующих топологических алгебр такой, что

С/®/)Д = Д7, и С/®/®/)( Ф) = Ф'. (4.14)

Топологическая квазибиалгебра (А, /л, г/, Д, є, Ф) называется топологической сплетенной квазибиалгеброй, если в пополненном тензорном произведении А® А имеется обратимый элемент R такой, что

Дор(а) = ЯД(а)Я-1, (4.15)

(idA ® A)(R) = (Ф2糥1ВізФ2ізВі2(Фі2зГ1 (4.16)

и

(Д § ida)(R) = Ф312Д13(ФШ)_1Д23Ф123- (4.17)

Как и раньше, Я называется универсальной Я-матрицей квазибиалгебры А. Она является частью данных, задающих топологическую сплетенную квазибиалгебру. Гомоморфизм топологических сплетенных квазибиалгебр есть некоторый гомоморфизм соответствующих топологических квазибиалгебр, отображающий универсальную Я-матрицу первой в универсальную Я-матрицу второй.
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed