Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
R2lR = eht = I ®l +ht (mod h2)
видно, что t = z®z является каноническим 2-тензором для А. 16.6. Симметризация универсальной R-матрицы
497
16.6. Симметризация универсальной Л-матрицы
Цель этого параграфа — доказать, что подходящим калибровочным преобразованием всегда можно добиться, чтобы универсальная R-мат-рица квантовой обертывающей алгебры удовлетворяла соотношению R = i?2i. Мы начнем со следующего технического утверждения.
Лемма 16.6.1. Пусть А — топологическая алгебра, являющаяся топологически свободным модулем. Тогда для данного элемента а Є А существует, и притом единственное, семейство (сп)п>о комплексных чисел такое, что
(l + Ycnanhn)2 = I+ ah. (6.1)
п>0
Доказательство. Любой формальный степенной ряд l + ^n>o c«a™^1" указанного выше вида задает некоторый элемент обратного предела А = Iim AfhnA, а значит и алгебры А, поскольку по предположению
п
А = А. Равенство (6.1) равносильно системе уравнений
Tl— 1
2ci = 1 и 2 cn + X cpcti-p = 0, (6.2)
P=і
если п > 1. Эта система имеет единственное решение, что легко доказывается простой индукцией. ?
Единственный элемент 1 + Y2n>o cnaTlhn, удовлетворяющий (6.1), называется квадратным корнем из элемента l + a/їи обозначается через (1 + ah)1/2. Обратный к нему обозначается через (1 + ah)-1/2.
Предложение 16.6.2. Пусть 0 — комплексная алгебра Ли, А — квантовая обертывающая алгебра для д. Тогда существует калибровочное преобразование F ? А® А с начальным условием F = 1 ® 1 (mod/i) такое, что если положить R! = F2IRF*1, то будем иметь R12i = R'. Кроме того, если алгебра А кокоммутативна, то найдется указанное преобразование F, удовлетворяющее дополнительному соотношению FA(a) = A(a)F для всех а Є А. 498
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
Доказательство. Для произвольного элемента и є А ® А положим H = U2I- Если R' = FRF'1, то R' = FRF-1. Нам нужен элемент F такой, что R' = R'. Другими словами, мы должны решить уравнение
FRF'1 = FRF'1, (6.3)
которое можно также переписать в виде
RR = F-1FRF-1FR = (F-1FR)2. (6.4)
Мы утверждаем, что
F = (R(RR)-1^lf2 (6.5)
является решением уравнения (6.4), где мы использовали обозначения, введенные после доказательства леммы 6.1. Этот элемент F обратим и сравним с 1 ® 1 по модулю h, так как этими свойствами обладает R. Для доказательства предложения заметим, что R(RR) = (RR)R влечет R(RR)n = (RR)nR для всех п ^ 1, а значит
Rf(RR) = f (RR)R (6.6)
для любого формального степенного ряда / от переменной h с комплексными коэффициентами; в частности, мы имеем
R(RR)-1'2 = (RR)-V2R. (6.7)
Вычислим F2F2. Из (6.7) мы имеем
F2F2 = R(RR)-lf2R(RR)-1'2 = (RR)-1Z2RR(RR)'1'2 = 1 ® 1.
Следовательно, F2 = F~2. Из единственности квадратного корня мы получаем F = FСнова используя (6.7), получаем
(F-1FR)2 = (F2R)2 = (R(RR)-1'2 R)2 = (RR(RR)-1'2)2 = RR,
откуда (6.4) имеет решение. Тем самым доказана первая часть предложения.
Что же касается второго утверждения, заметим, что соотношение (15.2.1) и кокоммутативность коумножения А означают, что Д(а) коммутирует с Rn с R для произвольного а Є А. Значит, А (а) коммутирует с F ввиду равенства (6.5). ? 15.6. Упражнения
499
16.7. Упражнения
1. Покажите, что ряд
2 ; 2 "п!
является квадратным корнем из 1 + h в алгебре С[[Л]] формальных степенных рядов, где (2п — 3)!! = Пл=і(2& — 1)-
2. Пусть M = F[[/i]] и JV = W[[h]] — топологически свободные модули. Покажите, что Hom#(M, JV) является топологически свободным модулем, изоморфным Hom(F, W)[[/i]]. Выведите отсюда, что если P — третий топологически свободный модуль, то
Нот K{M®N,P) = Hom^-(М, Horn^-(JV, P)).
3. Пусть 0 — алгебра Ли, t — элемент в g®g такой, что [ii2,^хз] = = [^12,?] = [^13)?] = Ob U(g)®3. Рассмотрим калибровочное преобразование F = ем. Покажите, что ?/(o)[[/i]]f является топологической биалгеброй.
4. Покажите, что обратные системы абелевых групп и отображения обратных систем образуют категорию Inv такую, что Iim
П
является функтором из категории Inv в категорию Ab абелевых групп. Докажите, что Iim является правым присоединенным к
Tl
функтору, сопоставляющему каждой абелевой группе А постоянную обратную систему (An, рп),
где An —
Anpn = icU для всех п.
5. Пусть (Cn)n^o — счетное семейство абелевых групп. Рассмотрим обратную систему (An,рп),
где An — Со X ... X Cn, а рп естественная проекция. Докажите, что обратный предел этой системы изоморфен прямому произведению групп Cn.
6. Пусть (An,рп) — обратная система абелевых групп. Используя тот факт, что обратный предел можно представить как ядро некоторого эндоморфизма произведения \\пАп, докажите, что для любой абелевой группы С имеет место естественный изоморфизм
Homfc, Iim An) Si lim Нот (С, An).
Tl Tl 500
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
7. (Кольцо целых р-адических чисел.) Для данного простого числа р рассмотрим обратную систему колец (Z/p"Z), снабженную естественными проекциями, индуцированными включениями идеалов (рп) С ipn~l). Покажите, что обратный предел Zp является кольцом с единственным максимальным идеалом. Докажите, что топологию обратного предела на Zp можно задать с помощью некоторого ультраметрического расстояния и что кольцо целых чисел Z образует всюду плотное подкольцо в Zp, в котором все числа, взаимно простые с р, получают обратный элемент.
