Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(Sf)(xi,... ,хп+і) =
= ^ ^ (— 1) f([xi, Xj], X1, . . . ,Xi, . . . ,Xj, . . . , Xn+l) +
+ E (-l)i+1Xif(xu... ,xi,... ,xn+i) (1.2)
l^i^n+l
для всех xi,... , XnJrI Є д. Значок ^ над буквой означает, что соответствующий аргумент пропущен. Если / принадлежит C0 (д, M) = М, то мы полагаем (Sf)(x) = xf. Классическое вычисление, использующее тождество Якоби и определение д-модуля, дает следующий результат.
Лемма 18.1.1. Если f лежит в Сп(д,М), то Sf лежит в Сп+1(д, М). Кроме того, S о S = 0.
Обозначим ядро и образ отображения <5, лежащие в Сп(д,М), через Zn(g,M) и Вп(д,М) соответственно. Элементы из Zn(g,M) называются п-коциклами, а элементы из Bn — п-кограницами. Лемма 1.1 утверждает, что Вп(д,М) является подпространством в Zn(g,M). Поэтому можно рассмотреть фактор-пространство
Hn(g,M) = Zn(g,M)/Bn(g,M), (1.3)
которое называется п-й группой когомологии алгебры Ли 0 с коэффициентами в 0-модуле М.
Опишем группу Нп(д, М) в размерностях n = 0,1, 2. В размерности 0 мы имеем
Н°(д,М) = Z°(g,M) = {тЄМ\дт = 0}.
Линейное отображение / : 0 —>¦ M является 1-коциклом тогда и только тогда, когда
f([x, у]) = xf (у) - yf(x)
(1.4) 526
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
для всех х,у Є 0. Другими словами, 1-коцикл является дифференцированием из 0 в М. Он является 1-кограницей тогда и только тогда, когда представляет собой внутреннее дифференцирование, то есть найдется элемент т Є M такой, что f(x) = хт для всех х Є 0. Таким образом, группа когомологий H1 (д, М) классифицирует все дифференцирования с точностью до внутренних.
В размерности 2 кососимметрическое билинейное отображение / : 0 X 0 —> M является коциклом, если и только если
Xf {у, z) + yf{z, х) + Zf (х, у) - f([x, у], z) - f([y, z], х) - f([z, х], у) = О
(1.5)
для всех x,y,z Є 0. Оно является кограницей тогда и только тогда, когда существует линейное отображение a: g —> M такое, что для всех X, у мы имеем
/(:г, у) = ха(у) - уа(х) - а([х, у]). (1.6)
Мы увидим в следующем параграфе, что 2-коциклы появляются при «деформации» алгебр Ли и их обертывающих алгебр.
Вторая группа когомологий Н2(д,М) интерпретируется также в терминах расширений алгебры д. Последние определяются следующим образом. Пусть g — некоторая алгебра Ли, M — некоторый левый g-модуль. Расширением алгебры Ли g с ядром M называется алгебра Ли g вместе с эпиморфизмом алгебр Ли р: g —* g такая, что
(i) ядро отображения р (являющееся идеалом в д) есть M и
(ii) для любых X Gg и т Є M мы имеем
[x,m] = — [m,x] = р(х)тп. (1.7)
Говорят, что такое расширение расщепляется, если существует гомоморфизм алгебр Ли S : g —> g такой, что р о s = id0. Следующее утверждение устанавливает связь расширений алгебры Ли g и когомологий.
Предложение 18.1.2. Если H2(g,M) = 0, то любое расширение алгебры JIu 0 с ядром M расщепляется. 18.1. Когомологии алгебр JIu
527
Доказательство. Разложим линейное пространство д в прямую сумму дфМ. По определению расширения коммутатор в д = дфМ должен иметь вид
[(х,т),{у,п)] = ([х,у],хп-ут + f(x,y)), (1.8)
где х,у Є fl, тп,п Є М, а / есть билинейное отображение из 0 х 0 в М. Так как коммутатор антисимметричен, / обязано быть антисимметричным. Тождество Якоби для коммутатора (1.8) накладывает еще одно условие на /, которое есть не что иное, как соотношение (1.5). Другими словами, / есть 2-коцикл со значениями в М. По предположению / является кограницей, т. е. существует линейное отображение а: 0 —> M такое, что выполнено (1.6). Возьмем линейное отображение S = (id, —а) из 0 в 0 = 0 ф М. Мы имеем р о s = id0. Проверим, что S есть гомоморфизм алгебр Ли, что будет означать расщепляемость расширения. Мы имеем
[e(x), e(y)] = [(я, -а{х)), (у, -а(у))] =
= ([ж, у], —ха(у) + уа{х) + f(x, у)) = = У], ~а([х, у])) = = «([я, У])-
В третьем переходе мы использовали (1.6). ?
В следующем параграфе нам понадобится приведенное ниже следствие из предложения 1.2. Рассмотрим алгебру Ли 0 и [/(д)-бимодуль М, то есть линейное пространство M с левым и правым действиями алгебры U(g) такими, что (щтп)и2 = u\(mu2) для всех u\,U2 Є U(g) и т Є М. Обозначим через M векторное пространство М, снабженное структурой левого 0-модуля, заданной для всех х Є д и т Є M формулой X ¦ т = хтп — тпх.
Следствие 18.1.3. Пусть f : U(g) х U(g) —> M — билинейное отображение такое, что для всех х, у, z из U(g) имеют место равенства f(l,x) = /(х,1) = 0 и
Xf (У, Z) - f(xy, z) + f(x, yz) - f(x, y)z = 0. (1.9) 528
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Тогда, если H2(g,M) = 0, то существует линейное отображение a : U(g) —> M такое, что а(1) =O и
f(x,y)=xa(y)-a{xy)+a{x)y (1.10)
для всех X, у Є U(g).
Доказательство. Зададим умножение в U(g) ф M формулой
(х, т)(у, п) = (xy,xn + my + f(x,y)), (1.11)
где X, у Є U(g), ит,п Є М. Соотношение (1.9) означает, что это умножение ассоциативно. В качестве единицы оно имеет (1,0). Мы получим структуру алгебры Ли на этом же пространстве, взяв коммутатор относительно этого умножения:
