Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
511
Более важным утверждением, которое вытекает из теоремы 2.4, является то, что Uh(g) обладает универсальной Д-матрицей, обозначаемой далее через Rfl- Дринфельд доказал, что Rfl имеет вид
Rh= Y mt)) Ph (213)
ie г+п
где Hi = Za^isSn ^г Для * = Сь- • • элемент ?0 Є 0 ® 0 задается формулой
to= X (DA)-1HiQHj, (2.14)
аР| — некоторый однородный многочлен от переменных Xi <g> 1, ..., Xn ®ІИІ®УІ,...,1®1^ степени Ii по переменной Xi Q 1 и по переменной 1 ® Yi. Мы имеем Po = 1 ® 1 и
Rh = IQl (mod h). (2.15)
Многочлены Pi можно определить индукцией по I, используя соотношения (16.4.15)-(16.4.17). Явное выражение для Rfl можно найти в [KR90], [LS90], [Ros89], [Ros92].
Теория представлений алгебры Ufl(0) полностью аналогична случаю алгебры 0. Действительно, для любого старшего веса Л алгебры Ли 0 существует, и притом единственный, топологически свободный ^/і(б)~модуль V\, удовлетворяющий условию
Vx/hVx = Fa (2.16)
и порожденный элементом vx, называемым старшим вектором, таким, что
HiVx = X(Hi)Vx и XiVA = O (2.17)
для всех і = 1,... ,п, как и в классическом случае. Pocco [Ros88] доказал, что любой топологически свободный Uh(Q)-MO ДУ ЛЬ W, удовлетворяющей условию dim(W/hW) < 00, является прямой суммой модулей вида Vx- Мы дадим пояснения к этому утверждению в параграфе 18.4. 512 Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
17.3. Инварианты зацеплений, порожденные квантовыми группами
Теперь мы покажем, как построить изотопический инвариант Qg>v, исходя из произвольной комплексной полупростой алгебры Ли 0 и произвольного конечномерного простого 0-модуля V.
Рассмотрим категорию Ufl(Q)-Modfr, состоящую из топологически свободных Ufl (0)-модулей конечного ранга, то есть топологических модулей вида F[[/i]], где V — конечномерное векторное пространство. Эта категория является тензорной категорией относительно топологического тензорного умножения построенного в параграфе 16.3, и условий ассоциативности и единиц, совпадающих с каноническими изоморфизмами (16.3.1) и (16.3.3). Более того, категория Uh(q)-Modf г является сплетенной тензорной категорией с левой двойственностью: сплетение индуцируется универсальной Д-матрицей Rfl, а двойственность для объектов определяется равенством F[[/i]]* = F*[[/i]]. Структурные отображения b и d для двойственности являются С[[/і]]-линей-ными продолжениями отображения вычисления и ковычисления, определенных в параграфах 2.2, 2.3.
Мы утверждаем, что Ufl(q)-Modfr является ленточной категорией. Чтобы показать это, достаточно задать скручивание, определение которого дано в параграфе 14.3. Мы будем действовать так же, как и в параграфе 14.6. Пусть и — обратимый элемент алгебры Uh(Q), задаваемый формулой (8.4.1), которая имеет смысл в настоящем контексте. Будем иметь u = l (mod h). Из предложения 8.4.1 и формулы (2.12) мы получаем
Sl(a) = иаи~1 = ehpae~~hp для всех а Є Ufl(Q)¦ Это означает, что элемент
в = e~hpu = ue~hp (3.1)
принадлежит центру алгебры Uh(Q).
Предложение 17.3.1. Центральный элемент в удовлетворяет соотношениям
A(O) = ((Rh)21Rh)-HOQe), ?(0) = 1, S(O) = O. 17.3. Инварианты зацеплений, порожденные квантовыми группами
513
Доказательство. Мы утверждаем, что
в2 = uS(u) = S(u)u. (3.2)
Если мы это докажем, то утверждение предложения 3.1 будет следовать из предложения 8.4.5 и того факта, что из uS(u) единственным образом извлекается квадратный корень, свободный член которого равен 1.
Соотношение (3.2) сведено в работе [Dri89a, предложение 5.1] к доказательству того, что обе части действуют одинаково на всех модулях вида V\. Для этого достаточно вычислить действие элементов S(u)u и в2 = e~2hpu2 на старшем векторе модуля V\. Так как и можно записать таким образом, чтобы образующие Xi, на которых обращается в нуль старший вектор, стояли справа от Yi, мы видим, что действия элементов S(u)u и в2 совпадают с действиями элементов, полученных из части выражения для Rfl, соответствующей Z = Ob формуле (2.13). Простое вычисление показывает, что тогда S(u)u и в2 действуют на V\ умножением на один и тот же скаляр. Дальнейшие подробности см. в [Dri89a, параграф 5]. ?
Собирая вместе предложения 3.1 и 14.6.2, мы делаем вывод, что действие элемента 9~1 индуцирует в категории Ufl(Q)-Modfr скручивание, превращая ее в ленточную.
Согласно параграфу 2, любому конечномерному простому д-модулю F можно сопоставить единственный объект F категории Ufl(Q)-Modfr такой, что F/hV = V. Применяя теорему 14.5.1 к нашей ленточной категории и объекту V, получаем тензорный функтор Fy из категории TZ оснащенных плетений в Ufl(q)-Modfr, посылающий объект (+) в V. Ограничение Fy на оснащенные зацепления дает изотопический инвариант Qgy оснащенных зацеплений, принимающий значения в С[[Л]]. Легко проверить, что
Qgy(L) = dim(F)d (mod Л) (3.3)
для любого зацепления L порядка d. Так как Uft(Q)-Modfr является ленточной категорией, для каждого ее объекта определена квантовая размерность. Фактически, по определению функтора Fy, данному выше, dim,(F) совпадает со значением Qg,v на тривиальном узле. Объясним, как можно вычислить dim?(F) в случае, когда F = Fa для старшего веса Л. Согласно предложению 14.6.4, размерность dim9(F\) есть след 514
