Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Нам также понадобится понятие калибровочного преобразования на топологической квазибиалгебре А: это — обратимый элемент F в А® А такой, что
(є ® ida)(F) = (idA ® e)(F) = 1. (4.18)
По топологической (сплетенной) квазибиалгебре А и калибровочному преобразованию F можно построить новую топологическую (сплетенную) квазибиалгебру Ар, применяя (15.3.2), (15.3.3) и (15.3.9). 16.4. Топологические алгебры
491
Пример 3. Пусть Ao = (Ао,/і(ь7Ztb Д(ь?о> ®o,Ro) — сплетенная ква-зибиалгебра над полем С комплексных чисел. С помощью предложения 2.3 (б) и предложения 3.2 на пространстве формальных степенных рядов с коэффициентами в Aq можно задать структуру топологической сплетенной квазибиалгебры
где |U, і), А и E — if-линейные отображения, однозначно определяемые условиями г?(/) = /г?о(1) = /1 для всех f E К,
для всех a, a' E Ao- Мы будем называть Aq[[/i]] тривиальной топологической сплетенной квазибиалгеброй, ассоциированной с Ao-
Пример 4. Пусть А = (А, /і,rj, Д, є, Ф, R) — топологическая сплетенная квазибиалгебра. Так как (A <g> A)/h(A ® A) = A/hA Q AfhA, то К-линейные отображения /л, г], А, є индуцируют С-линейные отображения
Обозначим через Ф класс эквивалентности Ф по модулю (A/hA)®3, а через R — класс R по модулю (A/hA)®2. Тогда А = (AfhA,?,rj, А, є, Ф, R) является сплетенной квазибиалгеброй.
Другим нужным нам понятием, которое получается обобщением классического, является топологический А-модуль M над топологической алгеброй A = (A, fj,, ту). Он представляет собой K-модуль вместе с К-линейным отображением /лм А <8> M -» M такой, что
MM ° (м §> idM) = цм ° (id>i ® /ш) и цм ° (v ® idw) = idM- (4.19)
Мы будем использовать запись рм(а ® m) = am, где a E А и т E М. Определение морфизма топологических А-модулей мы оставляем читателю.
Пусть M л N — топологические А-модули. Тогда их топологическое тензорное произведение MQN является топологическим А® А-мо-дулем. Если А обладает коумножением Д: А А Q А, то мы можем
А0[Н = (А0[[/г]],Аі,г/, Д,є,Ф0,Д0),
ц(а Q а') = /л0(а Q а'), А(а) = А0(а), є(а) = є0(а)
~р: A/hA Q AfhA AfhA, А : AfhA ->¦ AfhA Q AfhA,
rj: C-* AfhA, є: AfhA ^ С. 492 Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
взять прообраз структуры А О А-модуля на M ® N при этом отображении, что даст нам структуру А-модуля, имеющую следующий вид:
а{тпёп) = А{а){т®п) (4.20)
для всех a E А, т E M и п E N.
Если А есть топологическая сплетенная биалгебра с универсальной Я-матрицей Я, то для любого топологического А-модуля M его К-линейный автоморфизм М) заданный, как и в параграфе 8.3, формулой
см,м(ті ® т*) = (Я(ті ® m2))21, (4.21)
является решением уравнения Янга-Бакстера вМ®Мй М.
Действуя так же, как и в параграфе 15.4, можно показать, что универсальная Я-матрица топологической сплетенной квазибиалгебры порождает представление группы кос Bn в топологическом А-модуле М®п, где п — любое целое, большее 1, a M — произвольный топологический А-модуль. В этом контексте можно переформулировать теорему 15.4.2.
Подобно тому, как это было сделано в параграфе 9.5, мы называем топологический А-модуль M над топологической биалгеброй А = (А, р, Т], А, є) с левым действием рм : А <8) M M топологическим скрещенным А-бимодулем, если существует К-линейное отображение Am : M -» M § А такое, что
{idM® А) Дм = {Am® idA)AM, (idM ® є) Am = idM (4.22)
и
(рм ® At) (idA ® ТА,м ® idA) (А ® Am) =
= (idM ®р)(Ам ®ida)ta,m{ida ® Аім)(А ®idM)- (4.23)
16.5. Квантовые обертывающие алгебры
Пусть 0 — комплексная алгебра Ли. В параграфе 5.2 мы ввели понятие обертывающей алгебры U(g) и доказали, что она обладает естественной структурой биалгебры, задаваемой равенствами
А(ж) = 1 О ж + ж <8 1 и є(х) = 0 16.5. Квантовые обертывающие алгебры
493
для всех X из 0. Она снабжается тривиальной структурой сплетенной квазибиалгебры: Ф = 1®1®1иЯ=1®1.
Определение 16.5.1. Квантовой обертывающей алгеброй (KOA) алгебры Ли g называется топологическая сплетенная квазибиалгебра А = (А, /і, г/, Д, є, Ф, R) такая, что А есть топологически свободный модуль, а индуцированная, как в примере 4 из параграфа 4, структура сплетенной квазибиалгебры А = (A/hA,Jt,rj, Д,є, Ф, R) совпадает со структурой тривиальной сплетенной квазибиалгебры на U(g), и отображение г) является тривиальным продолжением отображения г/.
Сформулируем более явно это определение. Во-первых, KOA топологически свободна. Это означает, что как і^-модуль А = (A/hA)[[h]). Мы также предполагаем, что AjhA = U(д). Следовательно,
А = С/(0)р]] (5.1)
как К-модуль. Из предложения 3.2 мы получаем
А®п = {U(g)®n)[[h]\ (5-2)
для всех п > 0. Из утверждения (б) предложения 2.3 мы знаем, что отображения p., rj, Д и є определяются своими условиями на и(д)®и(д), С, U(д) и U(д) соответственно. Для элементов а, а' Є U(д) мы имеем
р(а ® а') = X рп(а <8> a')hn, (5.3)
nj>0
где [рп)п^о — некоторое семейство линейных отображений из U(g) ® U(g) в U(д) такое, что ро совпадает с умножением в обертывающей алгебре. Аналогично,
