Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
[Au A2] =-t^A2, (4.7)
[Я, A1] = О, [Н, A2] = —2A2, (4.8)
[Е,А,] = -^Е, [Е,А2] = К-е2АК (4.9)
К-линейный оператор А на модуле M называется h-адически локально нильпотентным, если для всех х Є M существует целое п такое, что Аг(х) С hM для всех і ^ п. Условие /г-адической локальной нильпотентности операторов Ai и A2 обеспечивает сходимость в /г-адической топологии бесконечной суммы, приведенной выше. В соотношениях (4.7)-(4.9) мы отождествили Е, H и К с операторами, которыми они действуют на М. Предложение 4.3 будет доказано позднее.
Обозначим через Dfl К-алгебру, топологически порожденную элементами Е, Н, Ai, A2 и соотношениями (4.4) и (4.7)-(4.9). Предложение 4.3 можно интерпретировать так, что топологический скрещенный ?/j-бимодуль есть не что иное, как топологический D/j-бимодуль с условием /г-адической локальной нильпотентности. Как видно из теоремы 9.5.2, алгебру Dfl можно рассматривать как разновидность квантового дубля ДЛЯ Bfl. 518 Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
Очередным шагом в доказательстве теоремы 4.2 будет следующее утверждение.
Предложение 17.4.4. Существует гомоморфизм топологических алгебр X '¦ Dh —> Uh такой, что
X(E) = E, X(H) = H, X(A1) = JH, X(A2) = (q-q-l)F.
Заметим, что = X(A2) = 0 (mod/г). Следовательно, элементы
х(Ді) и также h-адически локально нильпотентны.
Доказательство. По существу достаточно проверить, что элементы х(Е), х(Н), x(Ai) и х(Аг) удовлетворяют соотношениям (4.4) и (4.7)-(4.9). Это делается непосредственно, за исключением, возможно, второго равенства в (4.9). Проверим его: мы имеем
[Х(Е), X(A2)] = (q-q-l)[E,F} = = K- к-1 = = K-e~hH>2 =
= х(К-е-2^). ?
Последний шаг в доказательстве теоремы 4.2 состоит в следующем. Из предложений 4.3, 4.4 мы знаем, что любой топологический [//!-модуль с помощью X превращается в топологический скрещенный ?/j-бимодуль. Ввиду соотношения (9.5.5) универсальная і?-матрица для Uh есть
f(n-1)/2 — m!fnl0:
Из определения гомоморфизма х мы получаем
^ = E X(HmEn) Qx(ATAn2). (4.10)
Rh= У {Я У ?"("-1)/2 !f. HmEn Q HmFn = z^ m!nL! 4 4m
m.n^O 1 ІЧ
= (E га ¦«т ® я-) (E kW1^iv2 ^sf") =
ш^О п^О
,-1\п
= еЛ(Я®Я)/4 / V^ (iliJ! n(n-l)/2 ^n 0 рп\
\4ri WJ /'
n>o W9! 17.4. Случай sl(2)
519
Докажем теперь предложение 4.3.
Доказательство предложения 4.3. Для любого х из M элемент AatOe) имеет вид
Ам(х)= Y АмП,Р(х)®НтЕп (mocIhp) (4.11)
для всех р > 0. В обратном пределе семейство (А^'п'р)р задает К-линейный оператор A r^fl на М. Далее, сумма в (4.11) конечна, откуда вытекает, что A7^f1(X) обращается в нуль по модулю h для достаточно больших тип.
Коунитальность отображения Am дает A^f = idм, а коассоциативность приводит к равенству
дйдг»=(i+n" ) 1E ш (4'+ ?-1) (4.12)
для всех i,j,m,n после применения классической биномиальной формулы, а также ^-биномиальной формулы из предложения 4.2.2. Здесь мы использовали соглашение A1J^n = 0, когда т или п < 0. Положим A1 = A^0 и A2 = A^1. Из (4.12) и (6.1.7) получаем
= = ^уАГ, (4.13)
n on(n_1) п і On^n"1)/2
д« = W = T^a5' (4'14)
пп(п-1)/2
Дт,п _ дт,0л0,п _ Ч_AmAn (А 1
^m ^M - m][n]q] (4Л5)
Из (4.12) и (4.15) мы получаем —А1'1'1 = L
2Н\ м ^m • ' з-м - • 2
= E ^t''' = Air'-+ ?Ам = Д.A2 + |д2,
t>o
что равносильно соотношению (4.7).
Докажем, что Ai и Д2 являются /г-адически локально нильпотент-ными. Действительно, мы знаем, что для любого X Є M для достаточно больших т выполнено соотношение A1Jtf0(х) = 0 (mod К). Далее, Д 1M0(X) = А™(х). Следовательно, Д^(ж) с hM для достаточно 520
Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
больших т. /і-адическая локальная нильпотентность отображения A2 доказывается аналогично.
Таким образом, мы записали условие, что M является комодулем. Теперь займемся соотношением (16.4.23). Длинные, но простые вычисления, использующие равенства
EHm = (Я - 2)т E и EnH = (Я - 2п)Еп
показывают, что (16.4.23) эквивалентно выполнению двух соотношений:
A hnH = ЯД™'71 + 2 пА™'п (4.16)
и
A^nE + A^n-1K = Y^ ЕАм~*'П + Е(-2)Г (МгГ)
(4.17)
для всех m,n ^ 0. Полагая в (4.16) показатели тпяп равными 0 и 1, получаем соотношения (4.8), а полагая т = 1ип = 0в (4.17), получаем [Е, Ai] = —IЕ. Если в (4.17) т = 0 и п = 1, то обязательно t = 0, и мы получим
A2E +K = EA2 + ]Г(-2)Г
г^О
Следовательно,
[Е, A2] =K- Е(—2)г —^ = K- e~2Al,
г^О Г'
что совпадает со второй формулой в (4.9). Это завершает доказательство предложения 4.3. ?
Мы завершаем этот параграф явным описанием топологически свободных Uh-модулей, обобщающих простые IT9-MOдули V(n) из параграфа 5.4. Для произвольного неотрицательного целого п рассмотрим (n + 1)-мерное комплексное векторное пространство V(n) с базисом 17.4. Случай si(2)
521
{г>о,... ,vn} и свободный Х-модуль Vn = V (nHW] = V(n) с смотрим следующие три матрицы размера (n + 1) х (n + 1):
К. Pac-
/ О О
Pn(X) =
о
о
[п-1]9
Pn(Y) =
0 0
H 0
(0 0
1 0
0 [2]
