Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
16.8. Замечания
Материал параграфов 1-4 стандартен. Детали, связанные с /і-адичес-кой топологией и пополнениями можно найти в [Bou61, III] и в [Mat70, гл. 9]. Понятие квантовой обертывающей алгебры и содержание параграфов 5, 6 принадлежат Дринфельду (см. [Dri87] и [Dri89b, параграф 3]). Упражнение 3 взято из [Епг92].
16.9. Добавление. Обратные пределы
Обратной системой абелевых групп (An,рп) называется некоторое семейство (An)nez+ абелевых групп вместе с семейством гомоморфизмов (рп : An —»• An-i)n>o- Обратным пределом Iim An такой системы назы-
вается
Iim An = |(®п)п^о Є JJ An рп(хп) = хп-\ для всех п > о|. (9.1)
п п^О
Обратный предел имеет структуру абелевой группы как подмножество прямого произведения Пп>о^"' групповая структура в котором определяется покомпонентно. Ограничение естественной проекции из YlnXfAn на Ak дает гомоморфизм групп 7г* : Iim An —> Af.. Он зада-
Tl
ется равенством nk((xn)n) - Xk- Если все отображения рп являются эпиморфизмами, то эпиморфизмами будут и ттп. 16.9. Добавление. Обратные пределы
501
По определению обратного предела мы имеем
Pn 0 TTn = TTn-I (9.2)
для всех п > 0. Обратный предел обладает следующим свойством универсальности.
Предложение 16.9.1. Для любой абелевой группы С и произвольного данного семейства (/„ : С —>• Ап)п^о групповых гомоморфизмов таких, что Pn0 fn = fri-i для всех п > 0, существует, и притом единственный, гомоморфизм групп
f :С ->¦ Iim An
п
такой, что пп о / = fn для всех п ^ 0.
Доказательство. Семейство (/„) п корректно задает гомоморфизм / из группы С в прямое произведение всех групп An. Предположение Pn 0 fn — fn_і означает, что образ отображения / содержится в подгруппе Iim An. Это доказывает существование /. Условие жп of — fn
п
влечет единственность отображения. ?
Взятие обратного предела функториально. Назовем отображением из обратной системы (Ап,рп) в обратную систему (А'п,р'п) семейство (fn ¦ An A'ri)ri^o гомоморфизмов групп такое, ЧТО PnO /„ = /„_! О рп для всех п > 0.
Предложение 16.9.2. В сделанных выше предположениях существует, и притом единственный, гомоморфизм групп
f = Iim fn : Iim An -»• Iim A1n
п п п
такой, что ж'п о f = fn о жп для всех п ^ 0.
Доказательство. Семейство (/„ о жп : Iim An —> А'п)п удовлетворяет
п
условию предложения 9.1. Следовательно, существует, и притом единственный, гомоморфизм / такой, что тт'п о / = /„ о 7г„ для всех п. ? 502 Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
Для композиции отображений обратных систем мы имеем
(jim fn) ° (Jimgn) = lim(/„ о9п).
п п п
Обратный предел любой обратной системы (An,рп) обладает естественной топологией, называемой топологией обратного предела. Она строится следующим образом. Возьмем дискретную топологию на каждом из An, то есть топологию, в которой все подмножества считаются открытыми. Топология обратного предела на Iim An есть ограни-
Tl
ЧЄНИЄ ТОПОЛОГИИ прямого произведения на Пп>0 Лп- Другими словами, базу открытых множеств обратного предела образует семейство всех подмножеств вида iKfl(Un), где п пробегает все множество неотрицательных целых чисел, a Un — все подмножества в An. По определению этой топологии структурные отображения ттп из Iim An в An непре-
п
рывны. Кроме того, отображение / из топологического пространства в Iim An непрерывно в топологии обратного предела тогда и только
п
тогда, когда отображения ттп о / в An непрерывны при всех п ^ 0.
В данном выше определении слова «абелева группа» можно заменить на «кольцо», «модуль», и т.д. Утверждения, данные в этом параграфе, остаются при этом справедливыми. Мы использовали этот факт в настоящей главе без специальных объяснений. Глава 17
Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
На протяжении всей части I мы изучали квантовую обертывающую алгебру алгебры Ли sl(2). В этой главе мы дадим краткое описание алгебр Uh{g), которые Дринфельд [Dri85], [Dri87] и Джимбо [Jim85] сопоставляют другим полупростым алгебрам Ли д. Алгебры Uh(fl) дают нетривиальные примеры квантовых обертывающих алгебр, определение которых было дано в параграфе 16.5, а также примеры изотопических инвариантов зацеплений. Алгебры Uh{g) понадобятся нам также в главе 19 для формулировки теоремы Дринфельда-Коно о монодромии систем Книжника-Замолодчикова. Наконец, в параграфе 4 мы найдем явный вид универсальной Д-матрицы квантовой обертывающей алгебры алгебры Ли sl(2), используя скрещенные бимодули, определенные в параграфе 9.5.
17Л. Полупростые алгебры Ли
Перед тем как дать определение квантовых обертывающих алгебр Дринфельда-Джимбо, мы напомним некоторые факты из теории комплексных полупростых алгебр Ли.
Пусть 0 — конечномерная комплексная алгебра Ли. Для любого конечномерного представления р алгебры g мы можем задать на g билинейную функцию по формуле
где х,у — элементы д. Из свойств следа немедленно видно, что эта билинейная форма симметрична и инвариантна, то есть для всех х, у, z Є 0 имеют место равенства
