Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
[{х, тп), (у, тп)] = (х,тп)(у,п) - (у,п)(х,тп) =
= (\х,у],хп - пх + ту - утп + f (х,у) - f {у, х)).
Подпространство g = g ф M является подалгеброй Ли в U(g) ф М. Проекция р на первое слагаемое из g на g является эпиморфизмом алгебр Ли. Простое вычисление показывает, что ядро этого расширения есть 0-модуль М. Так как H2 (g, М) = 0, мы делаем из предложения 1.2 вывод, что расширение 0-)-0 расщепляется. Таким образом, существует гомоморфизм алгебр Ли s: д —> д такой, что р о s = id0. Взятие его композиции с включением 0 в U(g) ф M дает гомоморфизм алгебр Ли s': 0 —>¦ U{g) ф M, который в композиции с проекцией на первое слагаемое совпадает с включением 0 в свою обертывающую алгебру. По теореме 5.2.1 отображение s' продолжается до гомоморфизма алгебр ст из U(g) в U(о) ф М, расщепляющего проекцию на первое слагаемое. Это отображение должно иметь вид ст = (id, —а), где а — линейное отображение из U(g) в М. Запишем тот факт, что ст есть гомоморфизм алгебр. Во-первых, мы имеем равенства (1,0) = ст(1) = (1,—а(1)), которые означают, что а(1) = 0. Далее
о(х)о{у) = (х,-а(х)){у,-а(у)) =
= (ху, —ха(у) - а(х)у + f(x, у)) = = а(ху) = = (ху,-а(ху)),
откуда мы получаем f(x,y) = ха(у) — а(ху) -I- а(х)у. ? 18.2. Жесткость алгебр JIu
529
18.2. Жесткость алгебр Ли
Теперь мы используем группы когомологий, введенные в параграфе 1, для вывода двух классических теорем о топологических алгебрах. Первая является теоремой единственности.
Теорема 18.2.1. Пусть 0 и q1 — алгебры JIu. Предположим, что нам даны два гомоморфизма а и а' топологических алгебр из f/(g)[[/i]] в C/(fl')IW] такие, что a = a' (mod/i). Если H1(q,U{q')) = 0, то существует обратимый элемент F Є С(0')[[Л]], F= 1 (mod/i), такой, что а'(х) = Fa(X)F"1 для всех х Є С(д)[[Л]].
Класс эквивалентности а (и а') по модулю h является гомоморфизмом алгебр ао из U(g) в U(g'). Мы наделяем U(g') структурой левого 0-модуля, полагая х ¦ и = [ско(2:),и], где х Є 0 и и Є U(g'). Условие на когомологии в теореме 2.1 относится в точности к этой модульной структуре.
Доказательство. Так как отображение а является С[[Л]]-линейным, оно определяется своим ограничением на C/(fl). Запишем последнее в виде
а(х) = 5>п(х)/Л (2.1)
Ti^ О
где (ап)п есть семейство линейных отображений из U(g) в U(g'). Отображение а сохраняет единицу, то есть ао(1) = 1 и а„(1) = 0 для п > 0. Оно также сохраняет умножение, что записывается соотношениями
а0(ху) = а0{х)а0{у) (2.2)
и
<*п{ху) = Y ар{х)ад{у), (2.3)
p+q=n
если п > 0. В частности, мы имеем
Ot1(Xy) = а0(х)а1(у) + а^а^у). (2.4)
Предположим теперь, что X и у — элементы из 0. Тогда соотношение (2.4) означает, что
«1 У]) = [ао(®),аі(у)] - [асо(у),0!і(яг)]. (2.5) 530
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Из нашего определения д-действия на U(g') и формулы (1.4) мы видим, что а і есть 1-коцикл на g со значениями в U(q'). Так как H1 (s, U(g')) = 0, отображение а является 1-кограницей, что означает существование элемента ui Є U(q') такого, что
ai{x) = [a0(a;),ui] (2.6)
для всех І Є g. Положим
aw(x) = (1 + u\h)a(x)(l + щк)'1, (2.7)
где X Є U(q). Это отображение С[[/і]]-линейно продолжается до нового гомоморфизма топологических алгебр из С(в)[[Л]] в С(0;)[[Л]]. С точностью до h2 мы имеем
а^ = щ(х) + (uiaoW ~ ao(a;)ui + a\(x))h = ао(х)
в силу (2.6), (2.7). Это выполняется для всех х Є 0. Так как ао и а^1) являются гомоморфизмами алгебр, определенными на U(q), это выполнено для всех элементов обертывающей алгебры. Положим Q^1) = Е„>0 Предыдущее вычисление показывает, что а^ = ао
и о^ = 0.
Теперь применим (2.3) к а^1) и п = 2. Будем иметь
а^(ху) = а0(х)а{р (у) + а{1) (х)а0(у),
откуда видно, что ограничение отображения а^ на 0 снова является 1-коциклом со значениями в U(q'). По тем же причинам, что и выше, существует элемент U2 Є U(g') такой, что okp(х) = [ao{x),U2] для всех X Є 0. Положим а^(х) = (1 + u2h2)a^(x)(l + U2Zi2)-1. Вычисление, подобное сделанному выше, показывает, что
а(2)=а0 (mod/г3). (2.8)
Продолжая по индукции, мы построим аналогичным образом элементы гіз,гі4,... в U(g') такие, что
Una(X)U'1 = ао(х) (mod hn+1) (2.9)
для всех п > 0 и X Є U(д). Здесь Un обозначает произведение
Un = (1 + unhn)( 1 + Un-Ihn'1)... (1 + uih). 18.2. Жесткость алгебр JIu
531
Переходя к обратному пределу, мы видим, что семейство (Un)n задает обратимый элемент U Є С(0')[[Л]] такой, что U = 1 (mod/г) и
а(х) = U-1O0(X)U (2.10)
для всех X Є U(g).
Докажем теперь теорему 2.1. Действуя так же, как и в случае элемента а, получим элемент U' в С/(0')[[/г]] такой, что U' = 1 (mod К) и а'(х) = U1-1Ott0(X)U'. По предположению а'0 = а0. Отсюда и из равенства (2.10) достаточно положить F = U'~lU для завершения доказательства. ?
Теперь мы рассмотрим топологическую алгебру (A,?,rj), определение которой дано в параграфе 16.4, удовлетворяющую следующим условиям:
(І) как алгебра AfhA совпадает с обертывающей алгеброй некоторой комплексной алгебры Ли 0:
AfhA = U(q), (2.11)
