Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Д(а) = ]ГДп(а)/Л (5.4)
п^О
где (An)n^o есть семейство линейных отображений из U(g) в U(q)®U(q) такое, что До совпадает с коумножением в обертывающей алгебре, описанным выше. Мы также имеем
е(а) = J2?n(a)hn, (5.5)
п^О494
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
где (єп)п>о — семейство линейных отображений из U(q) в С такое, что ?о есть коединица обертывающей алгебры. Последнее требование определения 5.1 означает, что единица rj в А задается равенством
v(f) = /1 (5.6)
для всех / Є C[[/i]]. Наконец, снова по предложению 3.2, элементы Ф и R записываются в виде
Ф = Y^nhn (5.7)
п^О
И
R = Y^Rnhn, (5.8)
п^О
где (Фп)п^о и (Rn)n^o — семейства элементов алгебр (7(g)®3 и U(g)®2 соответственно такие, что
Ф0 = 1 О 1 О 1 и R0 = IQl. (5.9)
Из леммы 1.1 с очевидностью следует, что равенства (5.9) влекут обратимость элементов Фи R.
По определению квантовая обертывающая алгебра А ассоциирована с алгеброй Ли д. Структура этой алгебры Ли может быть восстановлена из А по формуле
0 = {ж Є AjhA I А0(а) = 1 ® а + а ® 1} (5.10)
ввиду того факта (указанного в параграфе 5.9), что подпространство примитивных элементов алгебры U(g) совпадает с 0 при условии нулевой характеристики основного поля.
Теперь мы сопоставим квантовой обертывающей алгебре еще один инвариант. Для универсальной Д-матрицы Л и ее образа R21 при переставляющем отображении условие
R21R = l®l + ht (mod h2) (5.11)
корректно определяет некоторый элемент t Є U(g) ® U (д). Выражая t с помощью (5.8), мы получаем t = Ri + (Ri)2I, откуда немедленно следует, что
t21 = t. (5.12)495 Глава 17. Квантовые обертывающие алгебры Дринфельда-Джимбо
Предложение 16.5.2. Элемент t является инвариантным симметрическим элементом пространства 0 ® 0, то есть имеют место равенства t21 = t и [Д(з;),?] = 0 для всех х Є 0. Он не меняется ни при каких калибровочных преобразованиях.
Определенный выше элемент t Є 0 ® 0 будет называться каноническим 2-тензором квантовой обертывающей алгебры А. Дринфельд называет пару (0,і) классическим пределом А, а квантовую обертывающую алгебру А — квантованием пары (g,t).
Доказательство. Мы уже видели, что тензор t симметричен. Докажем, что он принадлежит подпространству 0 ® 0. Мы снова используем тот факт, что 0 совпадает с пространством примитивных элементов в обертывающей алгебре. Используя (4.16), (4.17), вычислим (А ® icU)(.R2i.R). Мы имеем
(А ® idA)(R21R) = ((idU ® Д)(Д))312(Д ® idA)(R) =
= Ф_1Д32Ф132Д31(Ф312)_1Ф312Д13(Ф132)"1Д23Ф-
Приравнивая коэффициенты при h, получаем
(До ® id.)(?) = ?із + І23- (5.13)
Положим t = Ylixi ® Vi-, где {уі)г — семейство линейно независимых элементов алгебры U(g). Тогда (5.13) превратится в
X ДоО&і) ® Vi = ® 1 + 1 ®хг)®Уг, (5-14)
г і
откуда Ao(хі) = Xi ® 1 + 1 ® Xi для всех і. Так как элемент Xi примитивен для коумножения Ao в C/(g), он лежит в 0. Следовательно, t принадлежит g®Ug. Соотношение (5.12) означает в действительности, что t лежит в 0 ® 0.
Проверим инвариантность t. Дважды применяя (4.15), получаем
Д(а)Д2іД = R21RA{a) (5.15)
для всех а Є А. Приравнивая коэффициенты при h, получаем До(x)t — - tAo(x) для всех X € д.496
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
В завершение применим к А какое-нибудь калибровочное преобразование F. Тогда согласно (15.3.9) мы будем иметь
(.Rf)21Rf = FR21Ff11F21RF'1 = FR21RF'1. (5.16)
Приравнивая коэффициенты при h, получаем tF = t, где tF есть канонический 2-тензор KOA Ар, полученной из А калибровочным преобразованием F. ?
До сих пор единственные явно описанные нами квантовые обертывающие алгебры данной алгебры Ли g — это тривиальная KOA ї/(д)[[/і]], строящаяся из Z7(g), как описано в примере 3 параграфа 4, а также КОА, полученные из нее калибровочными преобразованиями. Так как универсальная Д-матрица такой KOA есть 1 ® 1, соответствующий канонический 2-тензор обнуляется: t = 0.
Теперь мы приведем пример KOA с нетривиальным каноническим 2-тензором. В главах 17 и 19 мы увидим дальнейшие нетривиальные примеры.
пример 1. (Квантовая обертывающая алгебра, ассоциированная с алгеброй JIu-Гейзенберга .) Рассмотрим 3-мерную алгебру Ли g с базисом {ж, у, z} и коммутатором, задаваемым равенствами
[x,y] = z и [x,z] = [y,z] = 0.
Симметричный 2-тензор t = z ® z инвариантен, поскольку z лежит в центре нашей алгебры Ли. Мы утверждаем, что существует КОА, классический предел которой есть (g,f). Действительно, возьмем тривиальную биалгебру А = J7(g)[[/i]], как и в примере 3 параграфа 4, с той лишь разницей, что положим R = eht/2 иФ = 1 ® 1 ® 1. Чтобы убедиться в том, что А является топологической сплетенной биалгеброй, мы должны проверить выполнение соотношений (4.15)-(4.17). Первое следует из HHBapnaHTHOCTHf. Соотношения (4.16), (4.17) вместе сФ = 1®1®1 равносильны следующим:
eft(ti3+fi2)/2 = ehti3/2eht12/2 и еМ*із+«2з)/2 _ eht13/2eht23/2 (5.17)
Соотношения (5.17) выполнены, поскольку элементы t\2, 113 и t23 коммутируют друг с другом. Далее, из равенства